已知13cosα＋5cosβ＝9，13sinα＋5sinβ＝15，求cos（α-β）

已知13cosα＋5cosβ＝9，13sinα＋5sinβ＝15，求cos（α-β）

13cosα＋5cosβ＝9 (1)
13sinα＋5sinβ＝15 (2)
由(1)得: 13²cos²α+130cosαcosβ＋5²cos²β＝9 ² (3)
由(2)得: 13²sin²α+130sinαsinβ＋5²sin²β＝15² (4)
(3)+(4)
13²(cos²α+sin²α)+130(cosαcosβ+sinαsinβ)＋5²(cos²β+sin²β)＝9 ²+15²
cos²α+sin²α=1; os²β+sin²β=1
所以有:
13²+130cos（α-β)+5²=9 ²+15²
130cos（α-β)=9 ²+15² -13²-5²=112
cos（α-β)=112/130=56/65

两式平方厘后相加

非常简单，两式分别平方，然后相加得：
169+130cos(α-β)+25＝81+225
cos(α-β)＝112/130＝56/65

(13cosA)^2+(5cosB)^2+2(13cosA)(5cosB)=81
(13sinA)^2+(5sinB)^2+2(13sinA)(5sinB)=225
13^2+5^2+130cos(A-B)=306
130cos(A-B)=112
cos(A-B)=112/130

第一个式子两边平方，得到
13²cos²α + 5²cos²β + 130cosαcosβ = 81
第二个式子两边平方，得到
13²sin²α + 5²sin²β + 130sinαsinβ = 225
两式相加，得到
13² + 5² + 130(cosαcosβ+sinαsinβ) = 81+225
130cos(α-β) = 112
cos(α-β) = 56/65

供参考。