初中数学函数几何综合题

初中数学函数几何综合题
如图,已知P为∠AOB的边OA上的一点,以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M、N两点,且∠MPN=∠AOB=a（a为锐角）,当∠MPN以点P为旋转中心,PM边与PO重合位置开始,按逆时针方向旋转（∠PMN保持不变）时,M、N在射线OB上同时以相同速度向右平行移动,设OM=x,ON=y（y>x>0),△POM的面积为S.若sina=3/2、OP=2.（1）当∠MPN旋转30°即∠OPM=30°时,求点N移动的距离；（2）求证：△OPN相似于△PMN；（3）写出y与x之间的关系式；（4）式写出S随x变化的函数关系式,并确定S的取值范围.

（1）△OPN∽△PMN．
证明：在△OPN和△PMN中,
∠PON=∠MPN=60°,∠ONP=∠PNM,
∴△OPN∽△PMN；
（2）∵MN=ON-OM=y-x,
∴PN2=ON•MN=y（y-x）=y2-xy．
过P点作PD⊥OB,垂足为D．
在Rt△OPD中,
OD=OP•cos60°=2×=1,PD=POsin60°=,
∴DN=ON-OD=y-1．
在Rt△PND中,
PN2=PD2+DN2=（）2+（y-1）2=y2-2y+4,
∴y2-xy=y2-2y+4,
即y=；
（3）在△OPM中,OM边上的高PD为,
∴S=•OM•PD=•x•=x,
∵y＞0,
∴2-x＞0,即x＜2．
又∵x≥0,
∴x的取值范围是0≤x＜2．
∵S是x的正比例函数,且比例系数 ＞0,
∴0≤S＜×2,即0≤S＜．