古代勾股定理应用

古代勾股定理应用

勾股定理与古代趣题
　　勾股定理是我国古代数学的一项辉煌成就，在我国古代就出现了一些和勾股定理应用有关的实际问题.请看几例.
　　一、 折竹抵地
　　例1（2006年厦门）今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？ （见图1）
　　分析：此题的意思是：一根竹子，原来高一丈，虫伤之后，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离与原竹子底部距离3尺，问原处还有多高的竹子？
　　利用勾股定理解决本题，可先画图形，如图，AC+AB=10（尺）
　　BC=3（尺），求AC的长即可.
　　解： 已知AC+AB=10（尺）①
　　BC=3（尺），
　　由 ，即 ，
　　可得 ，
　　所以 ②.
　　由①+②得：
　　（尺），
　　代入②得：
　　（尺）
　　所以原处还有4.5尺高的竹子.
　　二、秋千索长
　　例2 平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人起，五尺人高曾记.仕女佳人蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几？
　　分析：这是商人出身的明代珠算大师程大位（1533-1606年）在他的一部17卷的数学巨著《直指算法统宗》中用词给出的一道题.这词生动地描述绘了少女当秋千的欢快场景，又是一道在当时颇有分量的数学题.
　　解: 当时，一步合五尺.题意如图3所示，AC=1（踏板一尺离地），CD=10（送行二步），BD=5（五尺人高）.
　　设OA=OB=x为索长，
　　则在直角△OBE中，OB=x，BE=CD=10，OE=OA+AC-CE=OA+AC-BD=x+1-5=x-4，
　　由勾股定理得：x2=102+（x-4）2，解得x=14.5，即索长一丈四尺五寸.
　　三、葭生池中
　　例3今有法规池一丈，葭升其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？(如图4) 图3

　　图4 图5
　　分析：一个边长为一丈的正方形池塘，在正中间长一芦苇，长出水面一尺，有人将芦苇从顶端牵引到岸边，顶端刚好靠岸边，问池塘的有多深，芦苇有多高？
　　解决本题可根据题意画出图形，如图5，则AB=1丈=10尺，CE=1尺，借助勾股定理求DE、DC的长即可.
　　解：在Rt△DBE中，BE=5尺，BD=CD=DE+1，由勾股定理，得BC2+DE2=DB2，
　　即52+DE2=(DE+1)2,解的DE=12,CD=13,
　　所以水深12吃,葭长13尺.
　　评注:借助勾股定理解古代数学题,其关键是根据题意画出图形,根据已知写出相应的数据,然后通过勾股定理构造方程等求解.

勾3股4悬5