矩形ABCD中,AB=根号2,BC=2,Q为AD中点,将△ABQ,△CDQ沿BQ,CQ折起,使得AQ,DQ重合，记A，D重合的点为P．

(1)求二面角B－PQ－C的大小
(2)证明PQ⊥BC
(3)求直线PQ与平面BCQ所成的角的大小

解前分析：
① 求二面角B－PQ－C的大小，结合本题较好的方法是：
过平面BPQ 和 平面CPQ 的交线PQ上的一点 向两个面内分别作交线PQ垂线，
这两条垂线的夹角 即为二面角B－PQ－C的平面角。

② 证明PQ⊥BC，结合本题较好的方法是：
证明 BC 与 PQ所在的面 垂直。

③ 求直线PQ与平面BCQ所成的角的大小，结合本题较好的方法是：
求出 PQ 与 它在平面BCQ内的射影 所成的角即可。

解：① ∵ 四边形ABCD是矩形
∴ 折后 PB ⊥ PQ， 且 PC ⊥ PQ。
∵平面BPQ ∩ 平面CPQ = PQ， P在PQ上， PB ⊥ PQ、 PC ⊥ PQ，
就是说，过平面BPQ 和 平面CPQ 的交线PQ上的一点P，
在两个面内分别作交线PQ的垂线PB 和 PC，
∴ ∠BPC 即为二面角B－PQ－C的平面角。

下面求∠BPC。
在△BPC中， PB = PC = √2， BC = 2，
∵ PB的平方 + PC的平方 = BC的平方
∴ ∠BPC = 90° 即：二面角B－PQ－C的大小为90°

本问 您也可以由 余弦定理来求：
cos∠BPC = ( PB的平方 + PC的平方 -- BC的平方 ) / (2×PB×PC)
= (2+2--4)/(2×√2×√2)
= 0 ∴ ∠BPC = 90° 即：二面角B－PQ－C的大小为90°

② 取BC的中点E，连 PE，连QE。
∵ BQ = CQ，BE = CE，
∴ BC ⊥ QE。 ------------------------------------ （1）

∵ BP = CP，BE = CE，
∴ BC ⊥ PE。------------------------------------- （2）

由 （1）（2）知：BC 与 平面PQE内的两条相交线PE 和 QE 均垂直，
∴ BC ⊥ 平面PQE。而PQ在 平面PQE内，
∴ BC ⊥ PQ。
即：PQ⊥BC。

③ ∵ BC ⊥ 平面PQE， 平面BCQ经过平面PQE的一条垂线BC，
∴平面BCQ ⊥ 平面PQE，且两面 的交线为QE。
∴ PQ 在 平面BCQ内的射影 落在QE上。
∴ ∠PQE 即为 直线PQ与平面BCQ所成的角。

在等腰直角三角形 BPC 中，PE = 1，
在等腰三角形 BCQ 中，BQ = √3，BE = 1，则 QE = √2。
又 ∵ PQ = 1，

∴ 在 △PQE 中， PQ = 1，PE = 1，QE = √2，
∴ 由 PQ的平方 + PE的平方 = QE的平方 得：
△PQE是等腰直角三角形。
∴ ∠PQE = 45°
∴ 直线PQ与平面BCQ所成的角的大小为45°

本问也可以由 PQ ⊥ 平面BCQ 得出 PQ ⊥ PE，进而在Rt△PQE中 由 PQ = 1，PE = 1，得出
tan∠PQE = PE / PQ = 1， ∴∠PQE = 45°。

祝您学习顺利！