在半径为R的半圆内作一个内接绨形,梯形底是圆的直径,其它三边为半圆的弦,问当梯形的上底多少时,面积最

在半径为R的半圆内作一个内接绨形,梯形底是圆的直径,其它三边为半圆的弦,问当梯形的上底多少时,面积最

令ABCD是⊙O的内接梯形,且AB是直径.很明显,AB＞DC［同圆的弦,直径最大］.∴由同圆中平行线所夹的弦相等,有：AD、BC不平行,而ABCD是梯形,∴DC∥AB,∴AD＝BC.分别过C、D作AB的垂线,垂足分别是E、F.∵DC∥FE、DF⊥FE、CE⊥FE,∴CDFE是矩形,∴FE＝DC.∵CDFE是矩形,∴DF＝CE,又AD＝BC、∠AFD＝∠BEC＝90°,∴AF＝BE,而OA＝OB,∴OF＝OE＝FE/2＝DC/2.令DC＝x,则OF＝x/2.显然有：OD＝R,∴由勾股定理,有：DF＝√（OD^2－OF^2）＝√（R^2－x^2/4）.∴梯形ABCD的面积＝（1/2）（DC＋AB）×DF＝（1/2）（x＋2R）√（R^2－x^2/4）＝（1/4）√［（2R＋x）^2（4R^2－x^2）］＝（1/4）√［（2R＋x）^3（2R－x）］＝（3√3/4）√｛［（2R＋x）/3］［（2R＋x）/3］［（2R＋x）/3］（2R－x）｝.很明显,（2R＋x）/3、（2R－x）都是正数,∴由均值不等式,有：4｛［（2R＋x）/3］［（2R＋x）/3］［（2R＋x）/3］（2R－x）｝^（1/4）≦（2R＋x）/3＋（2R＋x）/3＋（2R＋x）/3＋（2R－x）＝4R.∴√｛｛［（2R＋x）/3］［（2R＋x）/3］［（2R＋x）/3］（2R－x）｝≦R^2.∴当（2R＋x）/3＝2R－x 时,梯形ABCD有最大值为 3√3R^2/4.由（2R＋x）/3＝2R－x,得：2R＋x＝6R－3x,∴4x＝4R,∴x＝R,∴DC＝R.即：当此梯形的上底为R时,面积最大.

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