在正方形ABCD的边AB上任取一点E,作EF垂直AB交BD于点F,

在正方形ABCD的边AB上任取一点E,作EF垂直AB交BD于点F,取FEGD中点G,连接EG,CG

解答：
解：
（1） EG=CG，EG⊥CG．
（2）EG=CG，EG⊥CG．
证明：延长FE交DC延长线于M，连MG．
∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，
∴四边形BEMC是矩形．
∴BE=CM，∠EMC=90°，
又∵BE=EF，∴EF=CM．
∵∠EMC=90°，FG=DG
∴MG=FD=FG．
∵BC=EM，BC=CD，
∴EM=CD．
∵EF=CM，
∴FM=DM，
∴∠F=45°．又FG=DG，∠CMG=∠EMC=45°，
∴∠F=∠GMC．
∴△GFE≌△GMC∴EG=CG，∠FGE=∠MGC．
∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，
∴MG⊥FD，
∴∠FGE+∠EGM=90°，
∴∠MGC+∠EGM=90°，
即∠EGC=90°，
∴EG⊥CG．

解：（1）EG=CG，EG⊥CG． （2分） （2）EG=CG，EG⊥CG． （2分） 证明：延长FE交DC延长线于M，连MG． ∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°， ∴四边形BEMC是矩形． ∴BE=CM，∠EMC=90°， 由图（3）可知，△BEF为等腰直角三角形，∴BE=EF， ∴EF=CM． ∵∠EMC=90°，FG=DG， ∴MG=1 2 FD=FG． ∵BC=EM，BC=CD， ∴EM=CD． ∵EF=CM， ∴FM=DM， ∴∠F=45°． 又FG=DG， ∠CMG=1 2 ∠EMC=45°， ∴∠F=∠GMC． ∴△GFE≌△GMC． ∴EG=CG，∠FGE=∠MGC． （2分） ∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG， ∴MG⊥FD， ∴∠FGE+∠EGM=90°， ∴∠MGC+∠EGM=90°， 即∠EGC=90°， ∴EG⊥CG． （2分）

作GH⊥GD 则GH＝GD＝GF ∠GHC＝135º＝∠GFE HC＝CD-HD＝AB-√2GD＝AB-DF/√2＝AB-EA＝BE＝EF ∴⊿GHC≌⊿GFE ﹙SAS﹚ GE＝GC ∵∠HGF＝90º ∴∠EGC＝∠ECF+∠FGC＝∠CGH+∠FDC＝∠FDH＝90º GE⊥GC

1）EG=CG，且EG⊥CG． 证明：过GH⊥AB于点H，延长HG交CD于点I，作GK⊥AD于点K． 则四边形GIDK是正方形，四边形AKGH是矩形， ∴AK=HG，KD=DI=GI=AH， ∵AD=CD， ∴IC=HG， ∵AD∥GH∥EF，G是DF的中点， ∴HA=HE， ∴HE=GI， ∵在Rt△HGE和Rt△ICG中， HE＝GI ∠GHE＝∠CIG HG＝IC ∴Rt△HGE≌Rt△ICG（SAS）， ∴EG=CG，∠HGE=∠GCI，∠HEG=∠CGI， ∴∠HGE+∠CGI=90°， ∴∠EGC=90°， ∴EG⊥CG； （2）成立． 证明：图2中，作GH⊥BC， 则EF∥GH∥CD， 又∵G是DF的中点， ∴EH=CH， 则GH是BC的中垂线， ∴GE=CG， ∵EF=EB，BC=CD ∴EF+CD=EC， ∵G是DF的中点，EH=CH， 则GH=1/2（EF+CD）， ∴GH=1/2EC， ∴△EGC是等腰直角三角形， ∴EG=CG，且EG⊥CG； 图3中，延长FE交DC延长线于M，连MG． ∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°， ∴四边形BEMC是矩形． ∴BE=CM，∠EMC=90°， 由图（2）可知， ∵BD平分∠ABC，∠ABC=90°， ∴∠EBF=45°， 又∵EF⊥AB， ∴△BEF为等腰直角三角形 ∴BE=EF，∠F=45°． ∴EF=CM． ∵∠EMC=90°，FG=DG ∴MG=1/2FD=FG． ∵BC=EM，BC=CD， ∴EM=CD． ∵EF=CM， ∴EF+EM=CM+DC， 即FM=DM， 又∵FG=DG， ∠CMG=1/2∠EMC=45°， ∴∠F=∠GMC． ∵在△GFE和△GMC中， FG＝MG ∠F＝∠GMC EF＝CM ∴△GFE≌△GMC（SAS）． ∴EG=CG，∠FGE=∠MGC． ∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG， ∴MG⊥FD， ∴∠FGE+∠EGM=90°， ∴∠MGC+∠EGM=90°， 即∠EGC=90°， ∴EG⊥CG．