【平面向量】平面向量及运算法则基础知识

【平面向量】平面向量及运算法则基础知识

【答案】 设a=（x,y）,b=(x',y').
　　1、向量的加法
　　向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.
　　AB+BC=AC.
　　a+b=(x+x',y+y').
　　a+0=0+a=a.
　　向量加法的运算律：
　　交换律：a+b=b+a；
　　结合律：(a+b)+c=a+(b+c).
　　2、向量的减法
　　如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0
　　AB-AC=CB. 即“共同起点,指向被减”
　　a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').
　　数乘向量
　　实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣.
　　当λ＞0时,λa与a同方向；
　　当λ＜0时,λa与a反方向；
　　当λ=0时,λa=0,方向任意.
　　当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.
　　注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.
　　实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.
　　当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；
　　当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍.
　　数与向量的乘法满足下面的运算律
　　结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb).
　　向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
　　数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.
　　数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.
　　3、向量的的数量积
　　定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
　　定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a•b.若a、b不共线,则a•b=|a|•|b|•cos〈a,b〉；若a、b共线,则a•b=+-∣a∣∣b∣.
　　向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'.
　　向量的数量积的运算律
　　a•b=b•a（交换律）；
　　(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律)；
　　（a+b)•c=a•c+b•c（分配律）；
　　向量的数量积的性质
　　a•a=|a|的平方.
　　a⊥b 〈=〉a•b=0.
　　|a•b|≤|a|•|b|.
　　向量的数量积与实数运算的主要不同点
　　1、向量的数量积不满足结合律,即：(a•b)•c≠a•(b•c)；例如：(a•b)^2≠a^2•b^2.
　　2、向量的数量积不满足消去律,即：由 a•b=a•c (a≠0),推不出 b=c.
　　3、|a•b|≠|a|•|b|
　　4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.
　　4、向量的向量积
　　定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.
　　向量的向量积性质：
　　∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.
　　a×a=0.
　　a‖b〈=〉a×b=0.
　　向量的向量积运算律
　　a×b=-b×a；
　　（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
　　（a+b）×c=a×c+b×c.
　　注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.
　　向量的三角形不等式
　　1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；
　　① 当且仅当a、b反向时,左边取等号；
　　② 当且仅当a、b同向时,右边取等号.
　　2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.
　　① 当且仅当a、b同向时,左边取等号；
　　② 当且仅当a、b反向时,右边取等号.
　　定比分点
　　定比分点公式（向量P1P=λ•向量PP2）
　　设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点.则存在一个实数 λ,使 向量P1P=λ•向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比.
　　若P1（x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有
　　OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）
　　x=(x1+λx2)/(1+λ),
　　y=(y1+λy2)/(1+λ).（定比分点坐标公式）
　　我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
　　三点共线定理
　　若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线
　　三角形重心判断式
　　在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心
　　[编辑本段]向量共线的重要条件
　　若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb.
　　a//b的重要条件是 xy'-x'y=0.
　　零向量0平行于任何向量.
　　[编辑本段]向量垂直的充要条件
　　a⊥b的充要条件是 a•b=0.
　　a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0.
　　零向量0垂直于任何向量.
　　
　　
　　明教为您解答,
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　　祝您学业进步!

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