22 已知：在△ABC中，BC=20，高AD=16，内接矩形EFGH的顶点E、F在BC上，G、H 分别在AC、AB上，求内接矩形EFGH的最大面积。
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解决时间 2021-05-07 12:35
- 提问者网友：饥饿走向夜
- 2021-05-06 11:56
22 已知：在△ABC中，BC=20，高AD=16，内接矩形EFGH的顶点E、F在BC上，G、H 分别在AC、AB上，求内接矩形EFGH的最大面积。
最佳答案
- 五星知识达人网友：春色三分
- 2021-05-06 13:08
三角形ABC∽三角形AHG,
设HG交AD于K,
AK:AD=HG:BC
(AD-GF):AD=HG:BC
(16-GF):16=HG:20
HG=20-5GF/4
矩形EFGH的面积S
=HG*GF
=(20-5GF/4)GF
=(5/4)(16GF-GF²)
=(5/4)(GF²-16GF+64-64)
=(5/4)[(GF-8)²-64]
=80-(5/4)(GF-8)²
(5/4)(GF-8)²>=0,-(5/4)(GF-8)²<=0,
所以当(GF-8)²=0,即GF=8时S有最大值,S最大值=80-0=80.
设HG交AD于K,
AK:AD=HG:BC
(AD-GF):AD=HG:BC
(16-GF):16=HG:20
HG=20-5GF/4
矩形EFGH的面积S
=HG*GF
=(20-5GF/4)GF
=(5/4)(16GF-GF²)
=(5/4)(GF²-16GF+64-64)
=(5/4)[(GF-8)²-64]
=80-(5/4)(GF-8)²
(5/4)(GF-8)²>=0,-(5/4)(GF-8)²<=0,
所以当(GF-8)²=0,即GF=8时S有最大值,S最大值=80-0=80.
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