矩阵A (A-aI)(A-bI)=0 证明A可对角化

矩阵A (A-aI)(A-bI)=0 证明A可对角化

这是个与矩阵的特征值,对角化,矩阵的秩有关的综合题目
用到多个知识点, 好题!

证明: (1) (A-aI)(A-bI)=A^2-(a+b)A+abI
若λ是A的特征值
则 λ^2-(a+b)λ+ab 是 A^2-(a+b)A+abI 的特征值 --知识点1.
而 A^2-(a+b)A+abI = 0, 零矩阵的特征值只能是0 --知识点2.
所以 λ^2-(a+b)λ+ab=0.
所以 (λ-a)(λ-b)=0
所以 λ=a 或 λ=b.
即A的特征值只可能是a或者b.
(2) 因为 (A-aI)(A-bI)=0
所以 r(A-aI)+r(A-bI)<=n. --知识点3.
又 (A-aI)-(A-bI) = (a-b)I
所以 a≠b 时 n=r[(a-b)I]=r[(A-aI)-(A-bI)]<=r(A-aI)+r(A-bI).
所以 r(A-aI)+r(A-bI)=n.
而A的属于特征值a的线性无关的特征向量有 n-r(A-aI)个
A的属于特征值b的线性无关的特征向量有 n-r(A-bI)个
所以A有 n-r(A-aI) + n-r(A-bI) = n 个线性无关的特征向量
故A可对角化. --知识点4.

设c是A的一个特征值，对应的特征向量是x，则0=9A-aI)(A-bI)x=(A-aI)(cx-bx)=(c-b)(cx-ax)=(c-b)(c-a)x，故必有c=b或c=a；
第二问要求a不等于b。n=r（(b-a)I）小于等于r(A-aI)+r(bI-A)=r(A-aI)+r(A-bI)。另一方面，由条件知A-bI的秩不会超过(A-aI)x=0的基础解系的秩，即r(A-bI)小于等于n-r(A-aI)。两者结合知r(A-aI)+r(A-bI)=n。因此，(A-aI)x=0的基础解系（就是属于a的线性无关的特征向量）的个数为n-r(A-aI)=r(A-bI)，同理，属于b的线性无关的特征向量的个数为r(A-aI)，A有r(A-aI)+r(A-bI)=n个线性无关的特征向量，故A可对角化。
若a=b，比如A=【0 1；0 0】取a=b=0满足题设，但A不可对角化追问为什么 A-bI的秩不会超过(A-aI)x=0的基础解系的秩？追答AX=0，X的每一列都是线性方程组Ax＝0的解，因此每一列都能用基础解系线性标出，当然X的秩不会超过基础解系的秩