已知函数f（x）=x2+2x+a，x∈[1，+∞）．（1）当a=12时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意x∈[1，+∞

已知函数f（x）=x2+2x+a，x∈[1，+∞）．（1）当a=12时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

（1）a=
1
2 时，f（x）=x2+2x+
1
2 ，
其图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=-1，
又∵x∈[1，+∞），
∴f（x）的最小值是f（1）=
7
2 ．
（2）由（1）知f（x）在[1，+∞）上的最小值是f（1）=a+3．
∵f（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，
故只需a+3＞0即可，解得a＞-3．
∴实数a的取值范围是a＞-3．

1.即 f(x)=x+a/x+2  当a=1/2  即 f(x)=x+(1/2x)+2 当x>0时  根据均值不等式 则有 f(x)=x+(1/2x)+2 ≥2√x*(1/2x)+2 ≥2+√2 当且仅当x=1/2x  即x=√2/2时取等号 但是√2/2  不在(1,+∞)定义域里 所以不能取得2+√2 但是f(x)在(1,+∞)上单调递增 则f(x)≥f(1)=1+1/2+2=7/2 ∴ f(x)min=f(1)=7/2