求问：一个概率混合分布X=a1X1+a2X2+...+akXk,其矩和矩母函数的性质的问题

求问：一个概率混合分布X=a1X1+a2X2+...+akXk,其矩和矩母函数的性质的问题

因为X 按 a1,,,ak的概率分布分别取X1...Xk的值
所以E(g(X))=a1E(g(X1))+....akE(g(Xk))

X^n不过也是一类X的函数
Mx(t)=E(e^(tX))
E(e^(tX)=a1E(e^(tX1))+......akE(e^(tXk))
对e^(tX)一样applied

moment generating func 还有个有趣的特性
Mx(t)=E(e^(tX))=E( 1+tX/1!+(tX)²/2!+(tX)³/3!...)

注意对t求导，不要降X的次数
Mx'(t)=E(X+X²t/1!+X³t²/2!....)
Mx"(t)=E(X²+X³t/1!+x^4t²/2!...)
Mx(n)(t)(Mx(t)的n阶导数)=E(X^n+X^(n+1)t+X^(n+1)t²/2!+...)

若带入t=0
Mx'(0)=E(X)
Mx"(0)=E(X²)
Mx(n)(0)=E(X^n)

然後我们把红圈下面式子求导t次，得到
Mx(n)(t)=a1Mx1(n)(t)+...akMxk(t)
代入t=0
得到
E(X^n)=a1E(X1^n)+.....akE(Xk^n)
一唱一和