如图已知三角形ABC与三角形BCD所在的平面互相垂直且∠BAC=∠BCD=90°如图,已知三角形△A

如图已知三角形ABC与三角形BCD所在的平面互相垂直且∠BAC=∠BCD=90°如图,已知三角形△A

第一个问题：∵平面ABC⊥平面BCD、平面ABC∩平面BCD＝BC、CD⊥BC,∴CD⊥平面ABC,∴AB⊥CQ.第二个问题：设AB＝a,则AC＝a.∵AB⊥AC,AB＝AC＝a,∴BC＝√2AB＝√2a.∵CD⊥BC、CD＝BC＝√2a,∴BD＝√2BC＝2a.∵CD⊥平面ABC,∴CD⊥AC,∴AD＝√（AC^2＋CD^2）＝√（a^2＋2a^2）＝√3a.由余弦定理,有：cos∠ADP＝（AD^2＋BD^2－AB^2）/（2AD×BD）＝（3a^2＋4a^2－a^2）/（2×√3a×2a）＝6/（4√3）＝√3/2.显然有：AP＝DP,∴容易求出：cos∠ADP＝（AD/2）/DP＝（√3/2）a/DP,∴（√3/2）a/DP＝√3/2,∴DP＝a.显然还有：AQ＝DQ,∴容易求出：cos∠ADQ＝（AD/2）/DQ＝（√3/2）a/DQ,又cos∠ADQ＝CD/AD＝√2a/（√3a）＝√6/3,∴（√3/2）a/DQ＝√6/3,∴DQ＝2√2a/3.∵BC＝CD、BC⊥CD,∴∠BDC＝45°,∴sin∠BDC＝√2/2.∴△DPQ的面积＝（1/2）DP×DQsin∠BDC＝（1/2）a（2√2a/3）×（√2/2）＝a^2/3.而△BCD的面积＝（1/2）BC×CD＝（1/2）√2a×√2a＝a^2.　△ABC的面积＝（1/2）AB×AC＝a^2/2.△ADQ的面积＝（1/2）DQ×AC＝（1/2）（2√2a/3）a＝√2a^2/3.令A到平面BCD的距离为b,则：很明显有：（1/3）b×△BCD的面积＝（1/3）CD×△ABC的面积,∴a^2b＝√2a×a^2/2,∴b＝√2a/2.令P到平面ACQ的距离为m、垂足为E,则：很明显有：（1/3）b×△DPQ的面积＝（1/3）m×△ADQ的面积,∴（√2a/2）a^2/3＝m（√2a^2/3）,∴m＝a/2.于是：sin∠PAE＝m/AP＝（a/2）/a＝1/2,∴∠PAE＝30°.即：AP与平面ACQ所成的角为30°.

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