求导数及其应用复习讲义

求导数及其应用复习讲义

导数的应用 1．函数的单调性　　(1)利用导数的符号判断函数的增减性 　　利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想． 　　一般地，在某个区间(a，b)内，如果f'(x)＞０，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f'(x)＜０，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减． 　　如果在某个区间内恒有f'(x)=0，则f(x)是常函数． 　　注意：在某个区间内，f'(x)＞０是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如f(x)=x3在R内是增函数，但x=0时f'(x)=0 　　(2)求函数单调区间的步骤 　　①确定f(x)的定义域； 　　②求导数； 　　③由（或）解出相应的x的范围．当f'(x)＞0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f'(x)＜0时，f(x)在相应区间上是减函数． 2．函数的极值　　(1)函数的极值的判定 　　①如果在两侧符号相同，则不是f(x)的极值点； 　　②如果在附近的左侧，右侧，那么，是极大值或极小值. 3．求函数极值的步骤　　①确定函数的定义域； 　　②求导数； 　　③在定义域内求出所有的驻点，即求方程及的所有实根； 　　④检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 4．函数的最值　　(1)如果f(x)在［a,b］上的最大值（或最小值）是在(a，b)内一点处取得的，显然这个最大值（或最小值）同时是个极大值（或极小值），它是f(x)在(a，b)内所有的极大值（或极小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在［a，b］的端点a或b处取得，极值与最值是两个不同的概念． 　　(2)求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤 　　①求f(x)在(a，b)内的极值； 　　②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 5．生活中的优化问题　　生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题也称为最值问题．解决这些问题具有非常现实的意义．这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大（小）值问题． 6．实习作业　　本节内容概括总结了微积分建立的时代背景，并阐述了其历史意义，包括以下六部分： 　　(1)微积分的研究对象； 　　(2)历史上对微积分产生和发展的评价； 　　(3)微积分产生的悠久历史渊源； 　　(4)微积分产生的具体的时代背景； 　　(5)牛顿和莱布尼茨的工作； 　　(6)微积分的历史意义． 　　7. 注意事项 　　（1）函数图像看增减，导数图像看正负。 　　（2）极大值不一定比极小值大。 　　（3）极值是局部的性质，最值是整体的性质