高二数学已知圆C:(x-3)²+y²=5与抛物线y²=2px(p>0)在x轴上方交于A,B两点

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解决时间 2021-04-08 13:49

提问者网友：十年饮冰
2021-04-07 22:43

已知圆C:(x-3)²+y²=5与抛物线y²=2px(p>0)在x轴上方交于A,B两点,1.求实数p的取值范围; 2.若∠ACB=90°求实数p的值
第1小题书上答案是05求解释

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五星知识达人网友：酒安江南
2021-04-07 22:59

你的错因在于使用Δ的时候忽略了x的范围
抛物线与圆有交点本身限制了x应该使(x-3)²+y²=5 y²=2px(p>0)都有意义
具体地说就是对于 (x-3)²+y²=5 你必须保证 (x-3)²＜5（y才有解）
对于y²=2px(p>0) 又必须保证x＞0

所以x²+(2p-6)x+4=0这个方程的两个实根都应该在上述x的范围内
制约条件就不仅仅是Δ＞0（后面的不用再说了吧）
（这是联立二次方程最容易出错的地方）

至于第二问设出A B点的坐标 A（x1,y1）B(x2,y2)
∠ACB=90°转化为向量AC垂直于向量BC也就是(x1-3)(x2-3)+y1y2=0
A B又都在抛物线上(y1)^2=2px1 (y2)^2=2px2
x²+(2p-6)x+4=0 使用韦达定理就可以得到一个只含有p的式子得解

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1楼网友：往事埋风中
2021-04-08 01:04

因为y²=2px 则显然x>0 (x-3)²+2px=5 x²+(2p-6)x+4=0 若p>5 2p-6>0 即x1+x2=-(2p-6)<0 不符合x>0

2楼网友：等灯
2021-04-08 00:02

(1)把y^2=2px代入（x-3）^2+y^2=5，得方程x^2-（6-2p）x+4=0 △=（6-2p）^2-16>0，解得0<p<1 (2）由题知线段ac、bc的斜率积为-1 圆心（3，0）得 y1/（x1-3）*y2/（x2-3）=-1 平方得 [y1/（x1-3）]^2*[y2/（x2-3）]^2=2px1/(5-2px1)*2px2/(5-2px2)=1 化简得2p（x1+x2）=5 由根与系数关系得x1+x2=6-2p 故2p（6-2p）=5 即（2p-5）（2p-1）=0 因为0<p<1 所以p=0。5

3楼网友：洒脱疯子
2021-04-07 23:14

圆C:(x-3)²+y²=5与抛物线y²=2px(p>0) 联立方程组，消去y得 x²-6x+9+2px=5 即x²-(6-2p)x+4=0（#）(x≥0) 圆与抛物线在x轴上方交于A,B两点那么方程（#）有两个不等的正根 ∴{Δ=（6-2p)²-16=4p²-24p+20>0 {6-2p>0 ｛p>0 解得0

4楼网友：神的生死簿
2021-04-07 23:06

解： 1、圆C:(x-3)²+y²=5与抛物线y²=2px(p>0)相交，得： x²-6x+9+2px=5 即x²-(6-2p)x+4=0 圆与抛物线在x轴上方交于A,B两点那么方程有两个不等的正根 Δ=（6-2p)²-16＞0 ∴6-2p＞4 即，p＜1 ∵p＞0 则，0＜p＜1 2、∠ACB=90°时，AB∥x轴设点A为靠近y轴的点，过A作AM⊥x轴于M，则，AM=CM ∴2AM²=5 AM=√10/2 则，OM=3-√10/2 ∴点A（3-√10/2，√10/2）则有，（√10/2）²=2p（3-√10/2） 5/2=p（6-√10） p=5/2÷（6-√10） p≈0.88

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高二数学 已知圆C:(x-3)²+y²=5与抛物线y²=2px(p>0)在x轴上方交于A,B两点

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