1/(1+x^2)的n阶导数怎么求？

1/(1+x^2)的n阶导数怎么求？

上面那些方法确实能做，但化成实数以后形式很繁琐。 不妨换个思路， 用三角函数来表示。
至于解答的形式，我是多导了几次猜出来的，有些运气成分，不过关键是要想到用三角函数来表示，这样形式上可能会简单.

这个好像没有很简单的形式吧。
这个相当于 arctan x的 n+1阶导数.
设 y= 1/(1+x^2)
可假设其n阶导数是 Pn(x)/(1+x^2)^(n+1)的形式，其中Pn(x)是关于x的一个多项式。 P0(x)=1。
这里我们求出Pn(x)的递推公式
y^(n) =Pn(x)/(1+x^2)^(n+1)
所以 (1+x^2)^(n+1) y^(n)= Pn(x)
两边对x求导
(n+1)(1+x^2)^n * (2x) y^(n) +(1+x^2)^(n+1) y^(n+1) =Pn'(x)
从而算出 代入 y^(n)= Pn(x)/(1+x^2)^(n+1)
可以得到
y^(n+1)= (Pn'(x)-(n+1)xPn(x))/(1+x^2)^(n+2)
所以 Pn+1(x) = Pn'(x) - (n+1)xPn(x)
我们的递推基础是 P0(x)=1
因此 其n阶导数是 Pn(x)/(1+x^2)^(n+1),其中
Pn+1(x)=Pn'(x) -(n+1)xPn(x)
比如由此可以算出
P1(x) =0 -2x =-2x
P2(x) = -2 +6x^2
等等
不知道是否满意这个答案。。。
有个简单的办法是：设 i^2=-1
则 y=1/(1+x^2)= 1/(x+i)(x-i) = 2i(1/(x-i)-1/(x+i))
这样用复数来表示，n阶导数就很好求了，因为这个转化为求
1/(x-i)这种简单函数的n阶导数，这里的i始终当常数看待即可。
用复数求出的n阶导数是
(-1)^n * 2i * (1/(x-i)^（n+1）- 1/(x+i)^(n+1))
如果非要想消掉i的话，括号里边通分，分母是 （x^2+1）^(n+1)
分子是 （x+i）^(n+1) - (x-i)^(n+1)
利用 a^(n+1)-b^(n+1)=(a-b)(a^n+a^(n-1)b+...+b^n)
的公式可以得到
(x+i)-(x-i)=2i
这个跟外面的2i相乘得到-4

剩下那个就要麻烦一点了
设 u为终边过 (x,1)的角
r=(√x^2+1)
则 (x+i)=r(cos u+ i*sin u)
(x-i)=r(cos (-u)+ i*sin (-u))
(x+i)^k=r^k(cos ku+i*sin ku)
记
这样可以把分子全部用复数的角形式来表示，
当n是奇数
(x+i)^n+(x-i)^n= r^n (cos nu+isin nu + cos nu -isin nu)=r^n*2cos nu
(x+i)^(n-1)(x-i)+ (x+i)(x-i)^(n-1)
= r^n(cos (n-2)u+isinc (n-2)u + cos (2-n)u+isin(2-n)u)=r^n 2cos (n-2)u
这样下去分子就变成了
2r^n (cos nu+ cos (n-2)u+...+cos 3u+ cos u)
在外边乘上一个sin u可以利用积化和差公式求和，然后就只能这样表示了，要换成x好像有点困难
n是偶数，用同样的办法你得到
2r^n(cos nu+...+cos 2u + 1)
其中 cos nu+...+cos 2u 乘上sin u可求和，同样的，要转化成x就很困难了，求和后有个cos(n+1)u

1/(1+x^2)的n阶导数
=
(2x)^n*(1+x^2)^(-n-1)

1阶导数=（1+x^2）^(-2)(2x)
2阶导数=（1+x^2)^(-3)(3x*x-1)*2
依此类推

利用(x+a)^(-1)的n次求导公式和复数的欧拉公式就能解决这道问题，最终答案不含有虚数i:

注意虚数的规律:
i=i, i²=1, i³=-i, i⁴= 1
再根据二项式展开后, 相互抵消后的结果, 分奇偶讨论，就可消去虚数。
点击放大，再点击再放大：

(2x)^n*(1+x^2)^(-n-1)