当x>0时，证明x-x^3/6<sinx<x

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解决时间 2021-03-03 00:39

提问者网友：浮克旳回音
2021-03-02 05:28

最佳答案

五星知识达人网友：琴狂剑也妄
2021-03-02 06:50

证明：

先证：sinx
设函数f(x)=x-sinx
f(0)=0
f'(x)=1-cosx>0(x>0时)
所以：f(x)是增函数。f(x)>f(0)=0
即x-sinx>0
所以：sinx
再证：x-x^3/6
设g(x)=sinx-(x-x^3/6)
则：g(0)=0
g'(x)=cosx-1+x^2/2

下面证g'(x)大于0（x>0时）
设h(x)=g'(x)
h(0)=g'(0)=cos0-1+0^2/3=0
h'(x)=g"(x)=-sinx+x=x-sinx>0
h'（x）>0 h(0)=0可得：h(x)>0(增函数)
因为h(x)>0所以：
g'(x)是增函数，
又因为g(0)大于0且g'(x)是增函数，可得：g(x)>0
所以g(x)是增函数
又g(0)=0，所以：g(x)>0
所以：sinx-(x-x^2/6)>0
x-x^3/6
根据：（1）（2）可得：
x-x^3/6

全部回答

1楼网友：慢性怪人
2021-03-02 07:56

解：设g(x)=x-sinx
求导g’(x)=1-cosx
当x>0时,g’(x)>0,函数g(x)单调递增,g(x)>g(0)=0,所以x>sinx
设f(x)=x-x^3/6-sinx
求导f'(x)=1-3x^2/6-cosx=1-x^2/2-cosx
f''(x)=-x+sinx
由上述g(x)可知：当x>0时,f''(x)=-x+sinx＜0
f'(x)所以x-x^3/6即证当x>0时，x-x^3/6

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