求y=x/x平方+1的值域

求y=x/x平方+1的值域

方法一：运用均值不等式解。
y=x/(x²+1)
x=0时，y=0
x>0时，y=1/(x +1/x)
x>0 x+1/x>0 y>0
由均值不等式得x+1/x≥2 y≤1/2
x<0时，y=1/(x +1/x)
x<0 x+1/x<0 y<0
由均值不等式得x+1/x≤-2 y≥-1/2
综上，得-1/2≤y≤1/2，函数的值域为[-1/2，1/2]。

方法二：运用一元二次方程解。
y=x/(x²+1)
x²+1恒>0，定义域为R。
yx²-x+y=0
y=0时，x=0
y≠0时，函数为一元二次方程，方程有实根，判别式≥0
1-4y²≥0
y²≤1/4
-1/2≤y≤1/2，又y≠0，因此-1/2≤y≤1/2且y≠0
综上，得-1/2≤y≤1/2，函数的值域为[-1/2，1/2]。

两种方法的结果是一样的。

∵x^2>0
∴x^2+1>=2√x^2=2|x|
∴1/(x^2+1)<=1/2|x|
∴y=x/(x^2+1)<=x/2|x|=1/2
当x>0时
y<=1/2
当x<0时
y>=-x/2x=-1/2
∴值域是[-1/2,1/2]