数学题已知椭圆中心在原点，焦点在X上，离心率e等于2分之根号3.它与直线x+y+1=0交于PQ两点，且OP垂直于OQ（O为原点），求椭圆方程

已知椭圆中心在原点，焦点在X上，离心率e等于2分之根号3.它与直线x+y+1=0交于PQ两点，且OP垂直于OQ（O为原点），求椭圆方程

按题意有：c/a=√３/2

c^2/a^2=3/4

b^2/a^2=1/4

a^2=4b^2

椭圆方程可设为：x^2/4b^2+y^2/b^2=1

直线x+y+1=0 化为y=-x-1代入椭圆方程化简得：

　　2x^2+2x+1-4b^2=0

设ＰＱ坐标为(x1,y1)(x2,y2).则x1,x2是上述方程的两根

由韦达定理有：　　x1+x2=-1 x1x2=1/2-2b^2

由于ＯＰ垂直ＯＱ，故它们斜率积为－１，即:

y1/x1*y2/x2=-1

y1y2+x1x2=0

(-x1-1)(-x2-1)+x1x2=0

2x1x2+(x1+x2)+1=0

1-4b^2-1+1=0

4b^2=1

b^2=1/4

代入椭圆方程得：x^2+4y^2=1