求L=∫（x^2+2xy)dx-(x^2+y^2siny)dy,其中L是抛物线y=x^2从点A(-1,1)到点B（1,1

求L=∫（x^2+2xy)dx-(x^2+y^2siny)dy,其中L是抛物线y=x^2从点A(-1,1)到点B（1,1）的一段弧.

补线段L1：y=1,x：1→-1,
这样L+L1为封闭曲线,所围区域是D
∮(L+L1) （x²+2xy)dx-(x²+y²siny)dy
格林公式
=∫∫ (2x+2x) dxdy 积分区域为D
=0
由于积分区域关于y轴对称,且被积函数关于x是奇函数,所以积分为0
下面算L1上的积分
∫(L1)（x^2+2xy)dx-(x^2+y^2siny)dy
=∫ [1→-1] (x²+2x)dx
=-2/3
因此原积分=0-(-2/3)=2/3