单选题已知函数f（x）满足：①?x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），②?x＞

单选题 已知函数f（x）满足：①?x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），②?x＞0，f（x）＞0，则A.f（x）是偶函数且在（0，+∞）上单调递减B.f（x）是偶函数且在（0，+∞）上单调递增C.f（x）是奇函数且单调递减D.f（x）是奇函数且单调递增

D解析分析：①先判断f（x）奇偶性，即找出f（-x）与f（x）之间的关系，令y=-x，有f（0）=f（x）+f（-x），故问题转化为求f（0）即可，可对x、y都赋值为0；②再依据函数单调性的定义判断函数的单调性，任取x1＜x2，充分利用条件当x＞0时，有f（x）＞0与f（x+y）=f（x）+f（y），即可判定f（x2）＞f（x1）从而得出其单调性．解答：显然f（x）的定义域是R，关于原点对称．又∵函数对一切x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），∴令x=y=0，得f（0）=2f（0），∴f（0）=0．再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），∴f（-x）=-f（x），∴f（x）为奇函数．任取x1＜x2，x2-x1＞0，则f（x2-x1）＞0∴f（x2）+f（-x1）＞0；对f（x+y）=f（x）+f（y）取x=y=0得：f（0）=0，再取y=-x得f（x）+f（-x）=0即f（-x）=-f（x），∴有f（x2）-f（x1）＞0∴f（x2）＞f（x1）∴f（x）在R上递增．故选D．点评：本题考点是抽象函数及其性质，在研究其奇偶性时本题采取了连续赋值的技巧，这是判断抽象函数性质时常用的一种探究的方式，属于中档题．

好好学习下