已知圆x+y+x-6y+m＝0和直线x+2y-3＝0交于P、Q两点OP⊥OQ（O为原点坐标）

已知圆x+y+x-6y+m＝0和直线x+2y-3＝0交于P、Q两点OP⊥OQ（O为原点坐标）求圆的圆心和半径

题目已知圆 x+y+x-6y+m＝0 ？，（不是圆的方程） 追问： x^+y^+x-6y+m＝0。不好意思 回答： 圆心C ( -1/2 , 3 ) , R=5/2 应写成 X^2+y^2+X-6y+m=0 ( ^2 ----表示平方 ) 1) 圆 (X+1/2)^2 +(y-3)^2=37/4-m ,即圆心 C ( -1/2 , 3 ) , R^2=37/4 -m 2) 直线x+2y-3＝0 与圆联立 得 5X^2+10X-(27-4m)=0 于是X1-X2 =√ [100 +20(27-4m) ] /5 y1-y2=-1/2 (X1-X2) = -√ [100 +20(27-4m) ] /10 于是PQ^2 =(X1-X2)^2+(y1-y2)^2 =32-4m 作CH⊥PQ于H , CH: y=2X+4 ,与直线x+2y-3＝0 联立 得交点H (-1 ,2 ) 于是HO=√5 , 因HO 为RT三角形POQ 斜边PQ的中线 , 故 HO=1/2 PQ 即HO^2 =PQ^2/4 ,即 5 = 8- m ,得 m=3 所以R^2=37/4 -m =37/4 -3 =25/4 , 即 R=5/2

x²+y²+x-6y+m=0化成圆的圆心坐标，半径形式是(x+1/2)²+(y-3)²=1/4+9-m    所以 圆心坐标是(-1/2,3)

x+2y-3=0化为x=3-2y带入x²+y²+x-6y+m=0中得5y²-20y+12+m=0

因为op⊥oq   多以向量op与向量oq乘积得0    设o(x1,y1) q(x2,y2)  因为o为坐标原点   所以x1*x2+y1*y2=0   因为p,q是直线方程上两点  所以 (3-2y1)*(3-2y2)+y1*y2=0化简得9-6(y1+y2)+5y1*y2=0

y1,y2为5y²-20y+12+m=0   的两个根   所以 y1+y2=4   y1*y2=(12+m)/5   带入9-6(y1+y2)+5y1*y2=0中   解m=3