数学中解决函数的具体策略？

数学中解决函数的具体策略？

例：设y=蕊(x)是定义在区间［-1，1］上的函数，且满足条件：

　　(i)f(-1)＝f(1)＝0；

　　(ii)对任意的u,v∈［-1，1］，都有—f(u)-f(v)—≤—u-v—。

　　(Ⅰ)证明：对任意的x∈［-1，1］，都有x-1≤f(x)≤1-x；

　　(Ⅱ)证明：对任意的u,v∈［-1，1］，都有—f(u)-f(v)—≤1。

　　解题：

　　(Ⅰ)证明：由题设条件可知，当x∈［-1，1］时，有f(x)=f(x)-f(1)≤—x-1—=1-x,即x-1≤f(x)≤1-x.

　　(Ⅱ)证明：对任意的u,v∈［-1，1］，当—u-v—≤1时，有—f(u)-f(v)—≤1

　　当—u-v—>1，u·v<0,不妨设u<0，则v>0且v-u>1,其中v∈(0，1］，u∈［-1，0)

　　要想使已知条件起到作用，须在［-1，0)上取一点，使之与u配合以利用已知条件，结合f(-1)＝f(1)＝0知，这个点可选-1。同理，须在(0，1］上取点1，使之与v配合以利用已知条件。所以，—f(u)-f(v)—≤—f(u)-f(-1)—＋—f(v)-f(1)—≤—u+1—+—v-1—=1+u+1-v=2-(v-u)<1

　　综上可知，对任意的u,v∈［-1，1］都有—f(u)-f(v)—≤1.

　　归纳：有关抽象函数问题中往往会给出函数所满足的等式或不等式，因此在解决有关问题时，首先应对所要证明或求解的式子作结构上的变化，使所要证明或求解的问题的结构与已知的相同。如本题未给出函数y=f(x)的解析表达式，而给出了一组特定的对应关系f(-1)=f(1)=0，以及两个变量之差的绝对值不小于对应的函数值之差的绝对值的一般关系。在(1)的证明中，利用f(1)=0,把f(x)改写成—f(x)—＝—f(x)-f(1)