怎样证明x5+x-1=0只有一个正根

怎样证明x5+x-1=0只有一个正根

x²+x-1=0
x²+x+1/4-5/4=0
(x+1/2)²=5/4
x+1/2=±(√5)/2
x1=(√5-1)/2>0，x2=(√-5-1)/2<0
∴方程只有一个正跟

这个题你可以看成左边一个曲线与x=0这条直线的交点个数 ，对左边x的函数求导为5x^4+1，
因为x^4是大于等于零的，所以5x^4+1一定大于零，所以函数式单调递增的
令x=0是函数式小于零的，必有一个正根、

由于定义域是R，所以函数f(x)=x^5+x-1连续，可用定义法或者导数法证明函数f(x)=x^5+x-1是增函数，再证明f(0)<0即可。

x²+x-1=0
Δ=1+4=5＞0,说明方程有两个不同的实数根
根据韦达定理有x1*x2=-1＜0
所以两根必定异号，所以必须只有一个正根

证明：设f(x)=x^5+x-1
求导
f'(x)=5x^4+1
可见：f'(x)>0
即在R上f(x)为单调增函数
f(0)=-1
所以在（0，正无穷）上存在x=x1
使f（x）=0
所以原方程只有一个正根

f（x）=x5+x-1
定义法证明增函数
然后f（0）f（1）<0所以在（0 1）之间有一根
x>=1时f（x）>=1
得证