设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=（2a-c）cosB．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求si
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解决时间 2021-02-06 00:54
- 提问者网友：我们很暧昧
- 2021-02-05 16:22
设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=（2a-c）cosB．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．．
最佳答案
- 五星知识达人网友：酒者煙囻
- 2021-02-05 16:55
（I）由条件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB=2sinAcosB-sinCcosB．
则sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB．
∴sin（B+C）=2sinAcosB，又sin（B+C）=sinA≠0，
∴ cosB=
1
2 ，又0＜B＜π，
∴ B=
π
3 ．
（Ⅱ）由A+B+C=π及 B=
π
3 ，得 C=
2
3 π-A ．
又△ABC为锐角三角形，
∴
0＜A＜
π
2
0＜
2
3 π-A＜
π
2 .
∴
π
6 ＜A＜
π
2 ．
sinA+sinC=sinA+sin(
2
3 π-A)=
3
2 sinA+
3
2 cosA=
3 sin(A+
π
6 ) ．
又 A+
π
6 ∈(
π
3 ，
2
3 π) ，
∴ sin(A+
π
6 )∈(
3
2 ， 1] ．
∴ sinA+sinC∈(
3
2 ，
3 ] ．
则sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB．
∴sin（B+C）=2sinAcosB，又sin（B+C）=sinA≠0，
∴ cosB=
1
2 ，又0＜B＜π，
∴ B=
π
3 ．
（Ⅱ）由A+B+C=π及 B=
π
3 ，得 C=
2
3 π-A ．
又△ABC为锐角三角形，
∴
0＜A＜
π
2
0＜
2
3 π-A＜
π
2 .
∴
π
6 ＜A＜
π
2 ．
sinA+sinC=sinA+sin(
2
3 π-A)=
3
2 sinA+
3
2 cosA=
3 sin(A+
π
6 ) ．
又 A+
π
6 ∈(
π
3 ，
2
3 π) ，
∴ sin(A+
π
6 )∈(
3
2 ， 1] ．
∴ sinA+sinC∈(
3
2 ，
3 ] ．
全部回答
- 1楼网友：蓝房子
- 2021-02-05 17:19
sina/sinb=a/b=cosa/cosb
sinacosb-cosasinb=sin(a-b)=0
a=b
sinc=sin(180-a-b)=sin(a+b)=sin2a=2sinacosa
sinc/sina=2cosa=c/a=2
cosa=1
a=0
题目数字（c=2a）有误
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