黎曼几何

黎曼几何

黎曼流形上的几何学。德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 ，空间中的点可用n个实数（x1，……，xn）作为坐标来描述。这是现代n维微分流形的原始形式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限演唱，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。 近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。在物理学中的这种解释，恰恰是和黎曼几何的观念是相似的。 此外，黎曼几何在数学中也是一个重要的工具。它不仅是微分几何的基础，也应用在微分方程、变分法和复变函数论等方面。

测量和计算地面距离的时候，由于地球是圆的。如果把地球看作是平面的话，传统的欧几里德几何方法会有较大的误差。如果不看作是平面，而看作是曲面，那又显得很繁琐复杂。因此急需要一种新的几何思想来解决这个问题。高斯初步地对这方向有一些探索和猜想。而更多的工作则交给了他的学生黎曼去做。后来黎曼要在高斯所在的那所大学申请讲师职位，需要一个就职演说。他向高斯提交了几个题目。高斯看中了其中的《论作为几何学基础的假设》。指定黎曼演讲此题。而黎曼面对的听众并不是仅仅有数学学者。更多的是不懂数学的人。于是他尽是把此演说深入浅出以让每一个非数学专业的人都能听懂。他做到了。据我了解，黎曼几何是研究曲线曲面曲空间的。以曲面来讲，把一个不规则的曲面在各点微分，每个微分单元看作是一个平面。就得到一系列的平面。再分别研究其部分的性质和整体的性质。