六年级奥数 （ 主要是方法）

六年级奥数 （ 主要是方法）

(1)设C为常数, 此数列可以写成An=6*(n-1)+C
此数列全部为奇数或偶数, 满足任意两个数的和都是2的倍数
任意3个数Ai, Aj, Ak的和Ai+Aj+Ak=6*(i-1)+6*(j-1)+6*(k-1)+3C, 为3的倍数
A1=C>0, C>=1. 为了使这2011个数的和尽可能小取C=1
A2011=6*(2011-1)+1=12060+1=12061

(2)数列1是所有小于等于2007的奇数
数列2可以写成An=5*(n-1)+1
终止于2006, 5*(n-1)+1<=2006, n<=402
当n为奇数时, (n-1)为偶数, 5*(n-1)为偶数, An=5*(n-1)+1为奇数
在1<=n<=402时, 奇偶性互相交替, 共有402/2=201个奇数
所以同时出现在两列数中的数的个数是201个

1.“它们当中的任意两个数的和都是2的倍数”可以看出，这2011个数要么全是奇数，要么全是偶数。
题目要求和尽量小，所以如果全是奇数，那么可能为1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21...... ①
如果全是偶数，那么可能为2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22..... ②
在把“任意三个数的和都是3的倍数”①②可以看出，要使任意三个数的和都是3的倍数，则他们每个数除以3的余数应该相同。所以存在这么几种情况：
1、7、13、19...
3、9、15、21...
5、11、17、23...
2、8、14、20...
4、10、16、22...
6、12、18、24...
显然第一种情况下这2011个数的和最小，即这列数为1、7、13、19、25、31......
第2011个数，利用高斯求和公式可以知道，末项=首项+公差*（项数-1）=1+6（2011-1）=12061
2.
（1）1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23.....2007
（2）1、6、11、16、21.....2006
多观察几项可以看出，（2）里面的偶数项均未出现在（1）里面，而（2）里面的奇数项均出现在了（1）里面，所以只要知道（2）里面有多少个偶数项就可以得出结果，要知道（2）里面有多少个偶数项，算出（2）的项数即可。
利用高斯求和公式：项数=（末项-首项）/公差+1=（2006-1）/5+1=402项，其中偶数项有402/2=201个

问题1的方法：由于任意两数之和是2的倍数，则这些数必定全奇数或者全偶数。
若为奇数则起始值最小为1，由于任意三项的和为3的倍数，则这些数有相同的表示方法：3n-b(b为待定系数为1或者2或者0)（n的取值依b而变）
当b取0时，此处为满足全奇，则n只能取奇数（2m-1）数列的最小值为3，和值最小时，数列通项应为6m-3(m为1、2、3、4……)
当b取1时，n只能取偶数（2m），数列的最小值为5，和值最小时数列通项应为6m-1(m为1、2、3、4……)
当b取2时，数列的最小值为1，则n值只能取奇数（2m-1），和值最小时数列通项为6m-5(m为1、2、3、4……)
显然，当b=2时，数列和值最小，故数列中最大的一个值为6X2011-5=12061
当数列的值为全偶时，同样分析具体方法类似上面，根据b的取值讨论n的取值求出通项，比较通项最小值最小的那一个就是全偶时满足要求的，然后比较和全奇时的数列的大小，即可得，此处不求了

答案：1、6033
2、201
1、分析：任意两个数和是2的倍数，有两种可能：A全是奇数，B全是偶数
任意三个数的和是3的倍数，每个数都得是3的倍数
和尽可能小，只能是全是奇数，首项为3，公差为3的等差数列，项数为2011
所以，最大项=3+2010×3=6033
2、分析：（1）为奇数组
（2）的个位数只有1和6.
所以（1）（2）中同时出现的数就是（2）中尾数为1的数
（2）中，共（2006-1）÷5+1=402项
所以，同时出现的个数为402÷2=201（个）

（1）任意两个数的和都是2的倍数说明全是奇数或者偶数
任意三个数的和都是3的倍数说明所有数除以3的余数全部相同
所以应该为3 6 9 12…………
最大为3*2011=6033
（2）求的是（2）中奇数个数
很容易发现奇数偶数交替出现
（2006+4）/5/2=201