线性代数怎么复习
- 提问者网友：火车头
- 2021-07-17 19:02
- 五星知识达人网友：酒者煙囻
- 2021-07-17 19:59
线性代数总结
一、课程特点
特点一：知识点比较细碎。
如矩阵部分涉及到了各种类型的性质和关系，记忆量大而且容易混淆的地方较多。
特点二：知识点间的联系性很强。
这种联系不仅仅是指在后面几章中用到前两章行列式和矩阵的相关知识，更重要的是在于不同章节中各种性质、定理、判定法则之间有着相互推导和前后印证的关系。
复习线代时，要做到“融会贯通”。
“融会”——设法找到不同知识点之间的内在相通之处；
“贯通”——掌握前后知识点之间的顺承关系。
二、行列式与矩阵
第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。
行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算，其中具体行列式的计算又有低阶和 阶两种类型；主要方法是应用行列式的性质及按行\列展开定理化为上下三角行列式求解。
对于抽象行列式的求值，考点不在求行列式，而在于 、 、 等的相关性质，及性质 （其中 为矩阵 的特征值）。
矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、 、 、 的性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初等矩阵的性质等。
三、向量与线性方程组
向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节；后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。
向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。
解线性方程组可以看作是出发点和目标。线性方程组（一般式）
还具有两种形式：
（Ⅰ）矩阵形式 ，其中
， ，
（Ⅱ）向量形式 ，其中
,
向量就这样被引入了。
1）齐次线性方程组与线性相关、无关的联系
齐次线性方程组 可以直接看出一定有解，因为当 时等式一定成立；印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。
齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①有唯一零解；②有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式 中的 只能全为0才能使等式成立，而当齐次线性方程组有非零解时，存在不全为0的 使上式成立；但向量部分中判断向量组 是否线性相关\无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量与线性方程组在此又产生了联系：齐次线性方程组 是否有非零解对应于系数矩阵 的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关\无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的。
2）齐次线性方程组的解与秩和极大无关组的联系
同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”，向量组 组成的矩阵 有 说明向量组的极大线性无关组中有 个向量，即 线性无关，也即等式 只有零解。所以，经过
“秩 → 线性相关\无关 → 线性方程组解的判定”
的逻辑链条，由 就可以判定齐次方程组 只有零解。当 时， 的列向量组 线性相关，此时齐次线性方程组 有非零解，且齐次线性方程组 的解向量可以通过 个线性无关的解向量（基础解系）线性表示。
3）非齐次线性方程组与线性表示的联系
非齐次线性方程组 是否有解对应于向量 是否可由 的列向量组 线性表示，即使等式 成立的一组数 就是非齐次线性方程组 的解。当非齐次线性方程组 满足 时，它有唯一解。这一点也正好印证了一个重要定理：“若 线性无关，而 线性相关，则向量 可由向量组 线性表示，且表示方法唯一”。
性质1.对于方阵 有：
方阵 可逆ó
ó 的行\列向量组均线性无关ó
ó 可由克莱姆法则判断有唯一解，
而 仅有零解
对于一般矩阵 则有：
ó 的列向量组线性无关
ó 仅有零解， 有唯一解（如果有解）
性质2．齐次线性方程组 是否有非零解对应于系数矩阵 的列向量组是否线性相关，而非齐次线性方程组 是否有解对应于 是否可以由 的列向量组线性表出。
以上两条性质可视为是将线性相关、行列式、秩、线性方程组几部分知识联系在一起的桥梁。
应记住的一些性质与结论
1．向量组线性相关的有关结论：
1）向量组 线性相关ó向量组中至少存在一个向量可由其余 个向量线性表出。
2）向量组线性无关ó向量组中没有一个向量可由其余的向量线性表出。
3）若 线性无关，而 线性相关，则向量 可由向量组 线性表示，且表示法唯一。
2．向量组线性表示与等价的有关结论：
1） 一个线性无关的向量组不可能由一个所含向量个数比它少的向量组线性表示。
2） 如果向量组 可由向量组 线性表示，则有
3） 等价的向量组具有相同的秩，但不一定有相同个数的向量；
4） 任何一个向量组都与它的极大线性无关组等价。
3．常见的线性无关组：
1） 齐次线性方程组的一个基础解系；
2） 、 、 这样的单位向量组；
3） 不同特征值对应的特征向量。
4．关于秩的一些结论：
1） ；
2） ；
3） ；
4） ；
5）若有 、 满足 ，则 ；
6）若 是可逆矩阵则有 ；
7）若 可逆则有 ；
8） 。
4．线性方程组的解：
1） 非齐次线性方程组 有唯一解则对应齐次方程组 仅有零解；
2）若 有无穷多解则 有非零解；
3）若 有两个不同的解则 有非零解；
4）若 是 矩阵而 则 一定有解，而且当 时有唯一解，当 时有无穷多解；
5）若 则 没有解或有唯一解。
四、特征值与特征向量
相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容——既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，“牵一发而动全身”。本章知识要点如下：
1．特征值和特征向量的定义及计算方法
就是记牢一系列公式如 、 、 和 。
常用到下列性质：
若 阶矩阵 有 个特征值 ，则有 ；
若矩阵 有特征值 ，则 、 、 、 、 、 分别有特征值 、 、 、 、 、 ，且对应特征向量等于 所对应的特征向量；
2．相似矩阵及其性质
定义式为 ，此时满足 、 、 ，并且 、 有相同的特征值。
需要区分矩阵的相似、等价与合同：矩阵 与矩阵 等价（ ）的定义式是 ，其中 、 为可逆矩阵，此时矩阵 可通过初等变换化为矩阵 ，并有 ；当 中的 、 互逆时就变成了矩阵相似（ ）的定义式，即有 ；矩阵合同的定义是 ，其中 为可逆矩阵。
由以上定义可看出等价、合同、相似三者之间的关系：若 与 合同或相似则 与 必等价，反之不成立；合同与等价之间没有必然联系。
3．矩阵可相似对角化的条件
包括两个充要条件和两个充分条件。充要条件1是 阶矩阵 有 个线性无关的特征向量；充要条件2是 的任意 重特征根对应有 个线性无关的特征向量；充分条件1是 有 个互不相同的特征值；充分条件2是 为实对称矩阵。
4．实对称矩阵及其相似对角化
阶实对称矩阵 必可正交相似于对角阵 ，即有正交矩阵 使得 ，而且正交矩阵 由 对应的 个正交的单位特征向量组成。
可以认为讨论矩阵的相似对角化是为了方便求矩阵的幂：直接相乘来求 比较困难；但如果有矩阵 使得 满足 （对角矩阵）的话就简单多了，因为此时
而对角阵 的幂 就等于 ，代入上式即得 。引入特征值和特征向量的概念是为了方便讨论矩阵的相似对角化。因为，不但判断矩阵的相似对角化时要用到特征值和特征向量，而且 中的 、 也分别是由 的特征向量和特征值决定的。
五、二次型
本章所讲的内容从根本上讲是第五章《特征值和特征向量》的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵 存在正交矩阵 使得 可以相似对角化”，其过程就是上一章相似对角化在 为实对称矩阵时的应用。
本章知识要点如下：
1．二次型及其矩阵表示。
2．用正交变换化二次型为标准型。
3．正负定二次型的判断与证明。
- 1楼网友：神的生死簿
- 2021-07-18 00:37
- 2楼网友：枭雄戏美人
- 2021-07-18 00:07
- 3楼网友：酒安江南
- 2021-07-17 23:31
概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容相互纵横交错，知识前后紧密联系是线性代数课程的特点，故考生应充分理解概念，掌握定理的条件、结论、应用，熟悉符号意义，掌握各种运算规律、计算方法，并及时进行总结，抓联系，使学知识能融会贯通，举一反三，根据考试大纲的要求，这里再具体指出如下：
行列式的重点是计算，利用性质熟练准确的计算出行列式的值。
矩阵中除可逆阵、伴随阵、分块阵、初等阵等重要概念外，主要也是运算，其运算分两个层次，一是矩阵的符号运算，二是具体矩阵的数值运算。例如在解矩阵方程中，首先进行矩阵的符号运算，将矩阵方程化简，然后再代入数值，算出具体的结果，矩阵的求逆（包括简单的分块阵）（或抽象的，或具体的，或用定义，或是用公式A -1= 1 A*，或 A用初等行变换），A和A*的关系，矩阵乘积的行列式，方阵的幂等也是常考的内容之一。
关于向量，证明（或判别）向量组的线性相关（无关），线性表出等问题的关键在于深刻理解线性相关（无关）的概念及几个相关定理的掌握，并要注意推证过程中逻辑的正确性及反证法的使用。
向量组的极大无关组，等价向量组，向量组及矩阵的秩的概念，以及它们相互关系也是重点内容之一。用初等行变换是求向量组的极大无关组及向量组和矩阵秩的有效方法。
在Rn中，基、坐标、基变换公式，坐标变换公式，过渡矩阵，线性无关向量组的标准正交化公式，应该概念清楚，计算熟练，当然在计算中列出关系式后，应先化简，后代入具体的数值进行计算。
行列式、矩阵、向量、方程组是线性代数的基本内容，它们不是孤立隔裂的，而是相互渗透，紧密联系的，例如∣A∣≠0〈===〉A是可逆阵〈===〉r（A）=n(满秩阵)〈===〉A的列（行）向量组线性无关〈===〉AX=0唯一零解〈===〉AX=b对任何b均有（唯一）解〈===〉A=P1 P2 …PN，其中PI(I=1,2,…，N)是初等阵〈===〉r(AB)=r(B)<===>A初等行变换
I〈===〉A的列（行）向量组是Rn的一个基〈===〉A可以是某两个基之间的过渡矩阵等等。这种相互之间的联系综合命题创造了条件，故对考生而言，应该认真总结，开拓思路，善于分析，富于联想使得对综合的，有较多弯道的试题也能顺利地到达彼岸。
关于特征值、特征向量。一是要会求特征值、特征向量，对具体给定的数值矩阵，一般用特征方程∣λE-A∣=0及（λE-A）ξ=0即可，抽象的由给定矩阵的特征值求其相关矩阵的特征值（的取值范围），可用定义Aξ=λξ，同时还应注意特征值和特征向量的性质及其应用，二是有关相似矩阵和相似对角化的问题，一般矩阵相似对角化的条件。实对称矩阵的相似对角化及正交变换相似于对角阵，反过来，可由A 的特征值，特征向量来确不定期A的参数或确定A，如果A是实对称阵，利用不同特征值对应的特征向量相互正交，有时还可以由已知λ1的特征向量确定出λ2（λ2≠λ1）对应的特征向量，从而确定出A。三是相似对角化以后的应用，在线性代数中至少可用来计算行列式及An.
将二次型表示成矩阵形式，用矩阵的方法研究二次型的问题主要有两个：一是化二次型为标准形，这主要是正交变换法（这和实对称阵正交相似对角阵是一个问题的两种提法），在没有其他要求的情况下，用配方法得到标准形可能更方便些；二是二次型的正定性问题，对具体的数值二次型，一般可用顺序主子式是否全部大于零来判别，而抽象的由给定矩阵的正定性，证明相关矩阵的正定性时，可利用标准形，规范形，特征值等到证明，这时应熟悉二次型正定有关的充分条件和必要条件。
- 4楼网友：白昼之月
- 2021-07-17 22:40
第一章 行列式
§1.1二阶、三阶行列式
（一）二阶行列式
（二）三阶行列式
§1.2 阶行列式
（二） 阶行列式的定义
定义1.2 用 个元素 组成的记号
称为 阶行列式。
注意：
（1）、一阶行列式就是
（2）、行列式有时简记为 。
第二章 矩阵
§2.1 矩阵的概念
定义2.1 由 个数 排列成的一个 行 列的矩形表，称为一个 矩阵,记作
其中 称为矩阵第 行第 列的元素。
定义2.2 如果两个矩阵有相同的行数与相同的列数，并且对应位置上的元素均相等，则称矩阵 与矩阵 相等，记为 。即如果 且 ，则 。
§2.2 矩阵的运算
（—）矩阵的加法和数乘矩阵
定义2.3 两个 行 列矩阵 对应位置元素相加得到的 行 列矩阵，称为矩阵 与矩阵 的和，记 。
定义2.4 以数 乘矩阵 的每一个元素得到的矩阵，称为数 与矩阵 的积，记作 。
由上面定义的矩阵加法、数与矩阵的乘法，不难得到下面的运算律。
设 都是 矩阵， 是数，则
(1)
(3)
(5)
(7)
（二）矩阵的乘法
定义2.5 设矩阵 的列数与矩阵 的行数相同，则由元素
构成的 行 列矩阵
称为矩阵 与矩阵 的积，记为 或 。
可看出：
1、两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。
2、矩阵不满足交换律。
3、一般矩阵用大写字母 表示，但1行 列或 行1列矩阵，有时也用小写字母 表示。
矩阵的乘法有下列性质：
(1)
(2)
(3)
(4)
（三）矩阵的转置
定义2.6 将 矩阵 的行与列互换，得到的 矩阵，称为矩阵 的转置矩阵，记为 或 。
转置矩阵有下列性质：
(1)
(2)
(3)
(4)
§2.3几种特殊的矩阵
（一） 对角矩阵
如果 阶矩阵 中的元素满足条件
则称 为 阶对角矩阵。
(三)单位矩阵
如果 阶数量矩阵 中的元素 时，则称 为 阶单位矩阵，记作 ，有时简记为 。
注意：
（1）、单位矩阵有
（2）、对于 阶矩阵 ，规定 。
§2.5逆矩阵
定义2.7 对于 阶矩阵 ，如果存在 阶矩阵 ，使得
那么矩阵称为可逆矩阵，而称为 的逆矩阵。
如果 可逆， 的逆矩阵是唯一的。
逆矩阵的性质：
（1）可逆矩阵 的逆矩阵 是可逆矩阵，且 。
（2）两个同阶可逆矩阵 的乘积是可逆矩阵，且 。
（3）可逆矩阵的转置矩阵 是可逆矩阵，且
§2.6 矩阵的初等变换
定义2.9 对矩阵施以下列3种变换，称为矩阵的初等变换。
（1）交换矩阵的两行（列）；
（2）以一个非零的数 乘矩阵的某一行（列）；
（3）把矩阵的某一行（列）的 倍加于另一行（列）上。
定义2.10 对单位矩阵 施以一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵。
定理2.2 设
（1）对 的行施以某种初等变换得到的矩阵，等于用同种的 阶初等矩阵左乘 。
（2）对 的列施以某种初等变换得到的矩阵，等于用同种的 阶初等矩阵右乘 。
定理2.3 任意一个矩阵 经过若干次初等变换，可以化为下面形式的矩阵 。
定理2.4 阶矩阵 为可逆的充分必要条件是它可以表示成一些初等矩阵的乘积。
§2.7矩阵的秩
定义2.11 设 是 矩阵，从 中任取 行 列 ，位于这些行和列的相交处的元素，保持它们原来的相对位置所构成的 阶行列式，称为矩阵 的一个 阶子式，称为矩阵 的一个 阶子式。
定义2.12 设 为 矩阵。如果 中不为零的子式最高阶数为 ，即存在 阶子式不为零，而任何 阶子式皆为零，则称 为矩阵 的秩，记作
秩 或 。
当 时，规定 。
显然：
很明显，
当 时，称矩阵 为满秩矩阵。
定理2.5 矩阵经初等变换后，其秩不变。
第三章 线性方程组
§3.1线性方程组的消元解法
线性方程组
首先写出方程组的增广矩阵 。
经过初等行变换，最后可以得到如下形状的阶梯形矩阵。
其中 ，
1、如果方程组中， ，方程无解。
2、如果方程组中 ，又有以下两种情况。
（1）当 时，方程有唯一解。
（2）当 时,方程组可写成，则方程组有如下无穷多个解。
它是方程组的无穷多个解的一般形式。
定理3.1 线性方程组有解的充分必要条件是 。且当 时有唯一解；当 时有无穷多解。
定理3.2 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是： 。
推论 当 时，齐次线性方程组有非零解。
§3.2 维向量空间
定义3.1 个实数组成的有序数组称为 维向量。一般用 等希腊字母表示，有时也用 等拉丁字母表示。
称为 维行向量。其中 称为向量 的第 个分量；
称为 维列向量。 称为 的第 个分量。
矩阵
中的每一行 都是 维行向量，每一列
都是 维列向量。
§3.3 向量间的线性关系
（一）线性组合
线性方程组(3.1)写成常数列向量与系数列向量如下的线性关系
称为方程组(3.1)的向量形式。
于是，线性方程组(3.1)是否有解，就相当于是否存在一组数： 使线性关系式
成立。
定义3.5 对于给定的向量 如果存在一组数 使关系式
成立，则称向量b是向量组 的线性组合或称向量b可以由向量组 线性表示。
定理3.3 向量
可由向量组可由向量组 线性表示的充分必要条件是以 为列向量的矩阵与以 为列向量的矩阵有相同的秩。
（二）线性相关与线性无关
定义3.6 对于向量组 如果存在一组不全为零
的数 使关系式
成立，则称向量组 线性相关；如果上式当且 仅当 成立，则称向量组 线性无关；
（三）关于线性组合与线性相关的定理
定理3.6 向量组 线性相关的充分必要条件是：其中至少有一个向量是其余 个向量的线性组合。
定理3.7 如果向量组 线性相关，而 线性无关，则向量 可由向量组 线性表示且表示法唯一。
（四）向量组的秩
定义3.7 如果 维向量组 中的一个线性无关的部分组 已达到最大可能，即如果r个向量以外向量组中还有向量，那么任意 个向量构成的部分组均线性相关，则 称为向量组 的一个极大线性无关部分组，简称极大无关组。
定理3.1 如果 是 的线性无关部分组，它是极大无关组的充分必要条件是： 中每一个向量都可由 线性表示。
定义3.8 向量组 的极大无关组所含向量的个数,称为向量组的秩,记为
§3.4 线性方程组解的结构
(一) 齐次线性方程组解的结构
方程 的解有下列性质:
1、如果 是齐次线性方程组的两个解,则 也是它的解。
2、如果 是齐次线性方程组的解,则 也是它的解（ 是常数）。
3、如果 都是齐次线性方程组的解,则其线性组合
也是它的解。其中 都是任意常数。
定义3.9 如果 是齐次线性方程组的解向量组的一个极大无关组,则称 是方程组的一个基础解系。
定理3.12 如果齐次线性方程组的系数矩阵 的秩数 ，则方程组的基础解系存在,且每个基础解系中,恰含有 个解。
(二) 非齐次线性方程组解的结构
非齐次线性方程组可以表示为 ，取 ，得到的齐次线性方程组 ，称为非齐次线性方程组 的导出组。
非齐次线性方程组的解与它的导出组的解之间有下列性质：
1、如果 是非齐次线性方程组（3.1）的一个解， 是其导出组的一个解，则 也是方程组（3.1）的一个解。
2、如果 是非齐次线性方程组的两个解，则 是其导出组的解。
定理3.13 如果 是非齐次线性方程组的一个解， 是其导出组的全部解，则 也是方程组的全部解。
第五章 矩阵的特征值
§5．1矩阵的特征值与特征向量
（一） 矩阵的特征值
定义5.1 设 为 阶矩阵， 是一个数，如果方程
（5.1）
存在非零解向量，则称 为 的一个特征值，相应非零解向量 称为与特征值 对应的特征向量。
定义5.2 设 为 阶矩阵，含有未知量 的矩阵 称为 的特征矩阵，其行列式 为 的 次多项式，称为 的特征多项式， 称为 的特征方程。
是矩阵 的一个特征值，则一定是 的根，因此又称特征根。若 是 的 重根，则 称为 的 重特征值（根）。方程 的第一个非零解向量，都是相应于 的特征向量。
- 5楼网友：北方的南先生
- 2021-07-17 21:32