高中选修圆锥曲线

已知双曲线C：2x²－y²=2与点P(1，2)

(1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.

(2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.

(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1与曲线C有一个交点

当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1)

代入C的方程，并整理得：(2－k²)x²+2(k²－2k)x－k²+4k－6=0 ①

(ⅰ)当2－k²=0,即k=±√2时，方程① 有一个根，l与C有一个交点

(ⅱ)当2－k²≠0,即k≠±√2时，Δ=[2(k²－2k)]²－4(2－k²)(－k²+4k－6)=16(3－2k)

①当Δ=0，即3－2k=0，k=3/2时，方程有一个实根，l与C有一个交点.

②当Δ＞0，即k＜3/2

又k≠±√2，故当k＜－√2或－√2＜k＜√2或√2＜k＜3/2时，方程①有两不等实根，l与C有两个交点.

③当Δ＜0，即k＞3/2时，方程①无解，l与C无交点

综上，当k=±√2或k=3/2或k不存在时，l与C只有一个交点

当√2＜k＜3/2或－√2＜k＜√2或k＜－√2时，l与C有两个交点

当k＞3/2时，l与C没有交点

(1) 假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)

则2x₁²－y₁²=2,2x₂²－y₂²=2

两式相减得：2(x₁－x₂)(x₁+x₂)=(y₁－y₂)(y₁+y₂)

又∵x₁+x₂=2,y₁+y₂=2 ,

∴2(x₁－x₂)=y₁－y₁

即k_AB=(y1-y2)(x1-x2)=2

但渐近线斜率为±√2,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.