已知两个自然数的平方和是900,它们的最大公约数与最小公倍数的乘积是432,求这两个自然数.

已知两个自然数的平方和是900,它们的最大公约数与最小公倍数的乘积是432,求这两个自然数.

设这两个数分别为mt,nt,t为两个数的最大公约数,m,n互质,令m>n.
(mt)²+(nt)²=900
t×(mnt)=432
整理,得
(m²+n²)t²=900 (1)
mnt²=432 (2)
(1)/(2)
(m²+n²)/(mn)=25/12
整理,得
12m²-25mn+12n²=0
(3m-4n)(4m-3n)=0
m=4n/3或n=4m/3(舍去)
m=4n/3代入mnt²=432,整理,得
n²t²=324
nt=18
mt=(4/3)nt=24
这两个自然数分别为24和18.