求抛物线y=1/4x²在点(4,4)处的切线方程

求抛物线y=1/4x²在点(4,4)处的切线方程

解由y=1/4x²
求导y'=x/2
则x=4时，k=2
故切线的斜率为k=2
则切线方程为y-4=2(x-4)
即为2x-y-4=0

两条切线方程为14x-4y-49=0和2x-4y-1=0

设点a(4,7/4),与抛物线y=x²/4切点为点(h,k)

切点必满足曲线方程,代入得k=h²/4...①

y'=(1/4)*2x=x/2

则曲线在x=h处的切线斜率为y'(h)=h/2

切线过点a,∴切线斜率为(k-7/4)/(h-4)

建立h/2=(k-7/4)/(h-4)

化简得k=h²/2-2h+7/4...②

联立①②得:

h²/4=h²/2-2h+7/4

h²=2h²-8h+7

h²-8h+7=0

(h-7)(h-1)=0

即h=7或h=1

当h=7,k=49/4,当h=1,k=1/4

即两个切点分别为c(7,49/4)和d(1,1/4)

由y'=x/2,切线ac斜率=7/2=3.5

∴切线ac的方程为y-7/4=3.5(x-4)

即14x-4y-49=0

切线ad斜率=1/2=0.5

∴切线ad的方程为y-7/4=0.5(x-4)

即2x-4y-1=0