f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)对任意的x1≥0,x2≥0和x1+x2≤1都成立。求证：对所有的x∈[0,1],都有f(x) ≤2x

函数f(x)的定义域为[0,1],已知f(x) ≥0，f(1)=1且f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)对任意的x1≥0,x2≥0和x1+x2≤1都成立。求证：对所有的x∈[0,1],都有f(x) ≤2x

反证法
证明：假设存在x1∈[0,1]使得f(x1)>2x1,
f(x1)>2x1≥x1,即f(x1)>x1
由f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)令x1=x2=x
f(2x)≥2f(x)>2x即f(t)>t对于t∈[0,1]都满足。
又当t=1时f(1)>1与题意不符。故假设不成立。

你好! 直接相减:(我用a代替x1,用b代替x2) f(a+b)=a³+3a²b+3ab²+b³, f(a)+f(b)=a³+b³. f(a+b)-f(a)-f(b)=3ab(a+b), 因为a+b＜1, ab≥0, ∴3ab(a+b)≥0. ∴f(a+b)≥f(a)+f(b). 即: f[x1+x2]≥[x1]+f[x2].

dui

已知f(x) ≥0，f(1)=1且f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)对任意的x1≥0,x2≥0和x1+x2≤1都成立。求证：对所有的x∈[0,1],都有f(x) ≤2x