高数题：①证明，如果函数f(x )当x →X0时极限存在，则f (x )在X0处的某一领域内有界

高数题：①证明，如果函数f(x )当x →X0时极限存在，则f (x )在X0处的某一领域内有界

证明过程如下图：



扩展资料
证明函数有界的方法：
利用函数连续性，直接将趋向值带入函数自变量中，此时要要求分母不能为0。
当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，因式分解，通过约分使分母不会为零。若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。
如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）
采用洛必达法则求极限，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。符合形式的分式的极限等于分式的分子分母同时求导。

复制粘贴一段 设x→x0时，f(x)→A 则对任意ε>0,存在δ>0,当 0<|x-x0|<δ时 |f(x)-A|<ε 即 A-ε<f(x)<A+ε 这说明f(x)在那去心领域是有界的

好复杂 再看看别人怎么说的。

函数f(x )当x →X0时极限存在，不妨设：limf(x)=a(x →X0) 根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|<δ时,有|f(x)-a|<ε 而|x-x0|<δ即为x属于x0的某个邻域U(x0;δ) 又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-1<f(x)<a+1 再取M=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在δ>0,当任意x属于x0的某个邻域U(x0;δ)时,有|f(x)|<M,即有界 证毕 有不懂欢迎追问