麦克斯韦方程组是怎样子的，怎么解

麦克斯韦方程组是怎样子的，怎么解

从1862-1865年，麦克斯韦在全面总结前人实验事实的基础上,提出电磁场理论,给出一组方程（含20个变量共20个方程）,
并从他的方程组中预见到电磁波。

1887年，徳国物理学家赫兹（H.Hertz,1857-1894）以实验证实了电磁波的存在，
并于1890年将麦克斯韦方程组整理和简化成四个变量四个方程.

现在，让我们来回顾一下由库仑定律、毕奥-萨伐尔定律和法拉第定律所得到的几个场方程。

由库仑定律和电场叠加原理，我们已经得到静电场的两个积分方程，即

电场的高斯定理

(3.6.1)

和静电场的环路定理

(3.6.2)

毕奥-萨伐尔定律是关于稳恒电流激发磁场的规律，由此定律我们得到磁通连续性方程

(3.6.3)

和稳恒磁场（静磁场）的安培环路定理

(3.6.4)

麦克斯韦认为，电磁感应现象的实质是运动的、以及变化的磁场都激发电场，变化的磁场激发涡旋电场，
因此法拉第电磁感应定律一般地可表示为

(3.6.5)

在稳定情况下，所有场量均与时间无关，（3.6.5）右方为零，这就告诉我们，静电场环路定理（3.6.2）只是（3.6.5）的一个特例。

此外，根据对当时已知的实验结果，麦克斯韦认为电场的高斯定理（3.6.1）、磁通连续性原理（3.6.5），以及电荷守恒原理

(3.6.6)

在普遍情况下都应当成立。但问题是，安培环路定理（3.6.4）仅仅适用于稳恒电流激发的磁场，亦即它仅满足稳恒条件下的电流连续性方程

(3.6.7)

而不满足普遍情况下的电荷守恒原理（3.6.6）。

现在，就让我们设想如下图这样一个由交流电源供电、而且串联着一个电容C 的电路。

显然，传导电流J 只存在于导线中，而在电容器内部及其周围，传导电流是中断的，也就是说，在这个电路中传导电流J 并不构成闭合的流线，

所以不满足（3.6.6）。但我们知道，随着供电电源极性的交替变化，电容器两极板将不断地充电和放电，

如果我们设想，在电容器内部及其一个极板的周围存在着“位移电流”，其密度为JD ,并假定JD与导线中的传导电流J 构成闭合的流线，

于是对于任意一个包围着电容器一个极板和导线的闭合曲面S,我们有

(3.6.8)

而对于这个高斯面，电场的高斯定理

仍成立，这里，r是电容器极板上的电荷密度，E是极板电荷激发的电场强度，由此式我们有

根据普遍情况下的电荷守恒原理（3.6.6）

于是我们得到

与（3.6.8）比较，我们看到，“位移电流”密度

(3.6.9)

与电场的时变率有关。也就是说，麦克斯韦“位移电流”假说实质上是指出，变化的电场与电流一样可以激发涡旋磁场。

因此，普遍情况下方程（3.6.4）

应当修改成

(3.6.10)

至此，我们得到普遍情况下电磁场所遵从的方程组——我们称之为麦克斯韦方程组

(3.6.11)

(3.6.12)

(3.6.13)

(3.6.14)

与其相应的四个微分方程是

(3.6.15)

(3.63.16)

(3.6.17)

(3.6.18)

这组方程描述了电荷和电流激发电磁场、以及变化的电场与变化的磁场互相激发转化的普遍规律

——稳定的电荷电流激发稳定的电磁场，随时间变化的电荷电流激发随时间变化的电磁场，变化的电场与磁场互相激发转化。

由于迄今为止，还没有发现自由磁荷（磁单极子）的客观存在，因此从场源来看，方程（3.6.15）与（3.6.17）没有对称性，

因而方程（3.6.16）与（3.6.18）同样没有对称性。