f(x)=x^2-1,g(x)=a|x-1|

（1）|f(x)|=g（x）只有一解，求a的范围
（2）f（x）>=g（x）恒成立，求a的范围
（3）h（x）=|f（x）|+g（x）在【-2，2】上最大值

解：（Ⅰ）方程|f（x）|=g（x），
即|x2-1|=a|x-1|，变形得|x-1|（|x+1|-a）=0，
显然，x=1已是该方程的根，
从而欲原方程有两个不同的解，即要求方程|x+1|=a
“有且仅有一个不等于1的解”或
“有两解，一解为1，另一解不等于1”
得a=0或a=2
（Ⅱ）不等式f（x）≥g（x）对x∈R恒成立，
即（x2-1）≥a|x-1|（*）对x∈R恒成立，
①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R
②当x≠1时，（*）可变形为 a≤x2-1|x-1|，
令 φ(x)=x2-1|x-1|={x+1，(x＞1)-(x+1)，(x＜1)，
因为当x＞1时，φ（x）＞2；而当x＜1时，φ（x）＞-2．
所以g（x）＞-2，故此时a≤-2
综合①②，得所求a的取值范围是a≤-2
（Ⅲ）因为h（x）=|f（x）|+g（x）=|x2-1|+a|x-1|
= {x2+ax-a-1，(x≥1)-x2-ax+a+1，(-1≤x＜1)x2-ax+a-1，(x＜-1)，
1）当 a2＞1，即a＞2时，
h（x）在[-2，1]上递减，在[1，2]上递增，
且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，
经比较，此时h（x）在[-2，2]上的最大值为3a+3
2）当 0≤a2≤1，即0≤a≤24时，
h（x）在[-2，-1]， [-a2，1]上递减，
在 [-1，-a2]上[1，2]上递增，
且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3， h(-a2)=a24+a+1，
经比较，知此时h（x）在[-2，2]上的最大值为3a+3
3）当 -1≤a2＜0，即-2≤a＜0时，
h（x）在[-2，-1]， [-a2，1]上递减，
在 [-1，-a2]，[1，2]上递增，
且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3， h(-a2)=a24+a+1，
经比较知此时h（x）在[-2，2]上的最大值为a+3
4）当 -32≤a2＜-1，即-3≤a＜-2时，
h（x）在 [-2，a2]， [1，-a2]上递减，
在 [a2，1]， [-a2，2]上递增，且h（-2）=3a+3＜0，h（2）=a+3≥0，
经比较知此时h（x）在[-2，2]上的最大值为a+3
5）当 a2＜-32，即a＜-3时，
h（x）在[-2，1]上递减，在[1，2]上递增，
故此时h（x）在[-2，2]上的最大值为h（1）=0
综上所述，当a≥0时，h（x）在[-2，2]上的最大值为3a+3；
当-3≤a＜0时，h（x）在[-2，2]上的最大值为a+3；
当a＜-3时，h（x）在[-2，2]上的最大值为0．

已知函数f(x)=x^2-1,g(x)=a∣x-1∣,当a≥-3时，求函数h(x)=∣f(x)∣+g(x)在区间[-2,2]上的最大值 解析：∵函数f(x)=x^2-1,g(x)=a|x-1| 令h(x)=|f(x)|+g(x)=|x^2-1|+a|x-1|=(|x+1|+a)*|x-1| 写成分段函数：区间[-2,2] h(x)=(1-x)*(a-x-1)=x^2-ax+a-1 (x<=-1) h(x)为开口向上的抛物线，其最大值取在端点上 h(-2)=3+3a，h(-1)=2a h(x)=(1-x)*(x+1+a)=-x^2-ax+a+1 (-1<=x<=1) h(x)为开口向上的抛物线，对称轴x=a/2， 若-1<=a/2<=1，其最大值取在对称轴上h(a/2)=(-3a^2+4a+4)/4 若a/2<-1，其最大值取h(1)=0 或a/2>1，其最大值取h(-1)=2a h(x)=(x-1)*(x+1+a)=x^2+ax-a-1 (x>=1) h(x)为开口向上的抛物线，其最大值取在端点上 h(1)=0，h(2)=3+a 综上： 当a<-3时，h(x)在区间【-2，2】上最大的值为h(1)=0 当a=-3时，h(x)在区间【-2，2】上最大的值为h(1)=h(2)=0 当-30时，h(x)在区间【-2，2】上最大的值为h(-2)=3+3a