初三数学图形题

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是中线，AE⊥BD，垂足为点O，交BC于点E，求证：BE=2EC。

证明:过A作AG⊥BC于G，交BD于H
∵三角形ABC是等腰直角三角形
∴∠BAG=∠C，AB=AC
∵∠ABD+∠ADB=∠DAE+∠ADB=90°
∴∠ABD=∠DAE
∴△ABH≌△ACE
∴AH=CE。
在△ADH和△CDE中
CD=AD，∠CAG=∠C=45°，AH=CＥ
∴△AＤH≌△CDＥ
∴∠AＤB=∠CＤＥ。
又∵∠BAＥ=∠AＤH，∠ABD=∠HAＤ=45°，
∴△ABＥ∽△ＤAH，
故AB/AＤ=BＥ/AH=2，即BＥ=2AH。因此BＥ=2CＥ。

证明：（如图）

作等腰直角三角形BAC的斜边BC的中线AF交中线BD于H，则H是Rt△BAC的重心，AF⊥BC ；

∴∠BAH=45°=∠C

又∵AE⊥BD

∴∠1+∠ADB=90°

∠2+∠ADB=90°（∠BAC=90°）

∴∠1=∠2

AB=AC ，∠BAH=∠C ，

∴△BAH≌ △ACE

∴EC=AH

又∵H是Rt△BAC的重心

∴AH=2*HF

∴AH=AF*2/3

又∵AF是等腰直角三角形BAC的斜边BC的中线，AF=BC/2

∴AH=BC/2*2/3=BC/3

又∵EC=AH（已证明）

∴EC=BC/3

∴BE=2EC。

过点D做DF∥AB .