已知G是三角形ABC的重心，且a向量GA+b向量GB+根3倍的向量GC=0,其中a,b,c分别为角A,B,C的对边，求角A

已知G是三角形ABC的重心，且a向量GA+b向量GB+根3倍的向量GC=0,其中a,b,c分别为角A,B,C的对边，求角A

先证明一个结论：G为三角形ABC所在平面内一点,GA+GB+GC=0<=>点G是三角形ABC的重心 (GA ,GB, GC, 0为向量)
【证明】（1）若已知GA+GB+GC=0，
取BC中点D，连结并延长GD至E，使DE=GD,则四边形BGCE是平行四边形
∴向量GB=向量CE
∴向量GB+向量GC=向量CE+向量GC=向量GE
由向量GA+向量GB+向量GC=0得:向量GB+向量GC=-向量GA=向量AG
∴向量AG和向量GE共线===>A、G、E三点共线而D在GE上,
∴A、G、D三点共线而点D又是BC中点,
∴AD(即AG)是三角形ABC中BC边上的中线
同理可证BG是AC边上的中线，CG是AB边上的中线
∴点G是三角形ABC的重心。
（2）若已知点G是三角形ABC的重心，
以GA、GB为邻边做平行四边形AGBD，设GD交AB于E
则向量GD=向量GA+向量GB
又向量GE=-向量GC/2=向量GD/2===>-向量GC=向量GD
∴-向量GC=向量GA+向量GB
∴向量GA+向量GB+向量GC=0向量

本题中：G是三角形ABC的重心,且a向量GA+b向量GB+根3c向量GC=0,,
又因GA+GB+GC=0，所以GA=-GB–GC，
代入得：a(-GB–GC) +b向量GB+根3c向量GC=0,,
整理得：(b-a) 向量GB+(√3c-a) 向量GC=0,,
因为向量GB，向量GC不共线，所以只有b- a =0，√3c-a =0，
三角形是等腰三角形，
根据余弦定理得：cosA=（b^2+c^2-a^2）/(2bc)= √3/6,
由此可得∠A的大小.

是三角形abc的重心，向量gc不共线，所以ga=-gb–gc，只能查表得,且a向量ga+b向量gb+根3c向量gc=0;(2bc)= √3/：a(-gb–gc) +b向量gb+根3c向量gc=0, 因为cosa=√3/， 代入得：(b-a) 向量gb+(√3c-a) 向量gc=0, 因为向量gb,，√3c-a =0, 整理得， 根据余弦定理得;6， 三角形是等腰三角形,，所以只有b- a =0：cosa=（b^2+c^2-a^2）/6不是特殊值,, 又因ga+gb+gc=0