用柯西不等式解的数学证明题

① 已知 2x^2 + 3y^2 ≤ 6 ,求证 x + 2y ≤ 11^0.5

② 已知 a^2 + b^2 = 1 , 求证 │acosθ + bsinθ│≤1

③ 已知 a,b∈R+, a+b=1, x1,x2∈R+, 求证(ax1+bx2)(bx1+ax2)≥x1*x2

"√"代表根号

①由柯西不等式得：(1/2+4/3)(2x²+3y²)≥(x+2y)²,(2x²+3y²)≤6
(x+2y)²≤(1/2+4/3)(2x²+3y²)≤6(1/2+4/3)=11,两边均大于0，则：
x+2y≤√11

②由柯西不等式得:(a²+b²)(cos²θ+sin²θ)≥(acosθ+bsinθ)²
a²+b²=1,cos²θ+sin²θ=1,则：(acosθ+bsinθ)²≤1,两边均大于0，则：
│acosθ + bsinθ│≤1

③由柯西不等式得:(ax1+bx2)(ax2+bx1)≥[(√ax1·ax2)+(√bx1·bx2)]²
=[a(√x1x2)+b(√x1x2)]²
=[(√x1x2)(a+b)]²=x1x2

成立

柯西不等式的一般证法有以下几种:■①cauchy不等式的形式化写法就是:记两列数分别是ai, bi,则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2. 我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2) 则我们知道恒有 f(x) ≥ 0. 用二次函数无实根或只有一个实根的条件,就有 δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0. 于是移项得到结论。 ■②用向量来证. m=(a1,a2....an) n=(b1,b2....bn) mn=a1b1+a2b2+....+anbn=(a1^+a2^+....+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+....+bn^)^1/2乘以cosx. 因为cosx小于等于0,所以:a1b1+a2b2+....+anbn小于等于a1^+a2^+....+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+....+bn^)^1/2 这就证明了不等式.柯西不等式还有很多种,这里只取两种较常用的证法.