∵△ABC中，acosA=bcosB，∴根据正弦定理，得sinAcosA=sinBcosB，可得sin2A=

∵△ABC中，acosA=bcosB，
∴根据正弦定理，得sinAcosA=sinBcosB，可得sin2A=sin2B．
又∵A、B∈（0，π），且A≠B，
∴2A+2B=π，得A+B=
π
2，△ABC是以C为直角顶点的直角三角形．
因此，
a+b
c=
a+b

a2+b2=

(a+b)2
a2+b2=
1+
2ab
a2+b2，
∵a、b是不相等的正数，可得a²+b²>2ab>0，
得
2ab
a2+b2∈（0，1），
∴
a+b
c=
1+
2ab
a2+b2的取值范围为(1，
2)
故答案为：(1，
2)

试题解析：

根据acosA=bcosB，利用正弦定理与二倍角的公式化简得sin2A=sin2B，结合A≠B算出A+B=

π

2

，△ABC是以C为直角顶点的直角三角形．再根据勾股定理与基本不等式加以计算，可得

a+b

c

的取值范围．

名师点评：

本题考点： 正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．
考点点评： 本题已知三角形满足的边角关系式，求a+bc的取值范围．着重考查了正弦定理、二倍角的正弦公式与基本不等式等知识，属于中档题．