定义在R上的函数f(x)满足:f(x+y)+f(x-y)=2f(x)*f(y),且f(0)不等于0,f(1/2)=0.

(1)求f(0)的值并证明f(x)是偶函数；(2)若f(x)在[0,1]内是单调函数，求f(1/3)与f(1/6)的值．

1

令x=y=0带入得：2f(0)=2f(0)²且f(0)≠0

所以f(0)=1

另x=0则有f(y)+f(-y)=2f(y)

所以有f(y)=f(-y)对任意的y∈R都成立

故f(x)是偶函数

2

f(1)+f(0)=2f(1/2)*f(1/2)且f(1/2)=0

所以f(1)=-1

因为f(x)=在[0，1]上式单调函数

所以是单调递减函数，表明f(1/3)和f(1/6)都大于0

令x=1/2，y=1/6

则有f(2/3)+f(1/3)=2f(1/2)*f(1/6)=0

所以有f(2/3)=-f(1/3)

令x=y=1/3

则有f(2/3)+f(0)=2f(1/3)²

所以有-f(1/3)+1=2f(1/3)²且f(1/3)>0

解得f(1/3)=1/2

令x=y=1/6

所以有f(1/3)+f(0)=2f(1/6)²带入f(1/3)的值且f(1/6)>0

解得：f(1/6)=[3^(0.5)]/2 ——读起来就是：2分之根号3

所以有f(1/3)=1/2

f(1/6)=[3^(0.5)]/2

(1)令y=0 , 则f(0)=1 , 分别令y=x和y=-x , 得f(2x)+f(0)=2f(x)f(x) ; f(0)+f(2x)=2f(x)f(-x) 两个方程联立解得f(x)=f(-x)

(2)令x=y=1/2, 求解得f(1)= - f(0)= - 1

所以f(0)>f(1) , 函数单调递减

令x=1/3 , y=1/6 ,则f(1/2)+f(1/6)=2f(1/3)f(1/6)

令x=y=1/6 , 则f(1/3)+f(0)=2f(1/6)f(1/6)

解得f(1/3)=1/2 , f(1/6)=√3/2