1,且对于任意实数a,b∈R,有f(a+b)=f(a)f(b)判断f(x)在R上的单调性

1,且对于任意实数a,b∈R,有f(a+b)=f(a)f(b)判断f(x)在R上的单调性

假如f(0)=0,则对任意x,有f(x)=f(x+0)=f(0)f(x)=0,不符合题意,即f(0)不等于0.即a=b=0,则f(a+b)=f(0)=f(0)f(0),即f(0)=1.当x>0时,f(x)>1>0当x0、f(x-x)=f(0)=f(x)f(-x)=1、f(x)=1/f(-x)>0所以,对任意x,都有f(x)>0设x10、f(x2-x1)>1f(x2)/f(x1)=f(x2)f(-x1)=f(x2-x1)>1所以,f(x2)>f(x1)因此,f(x)在R上单调递增..======以下答案可供参考======供参考答案1:f(a+b)=f(a)f(b)=f(a+b-b)f(b)=f(a+b)f(-b)f(b);得出f(-b)f(b)=1.f（x）=1/f(-x),当x大于0时，f（x）>1;当x=0时，a、b都为0带入得f（0）=f（0）f（0），得f（0）=1；当x>0时f(x)>1和f（x）=1/f(-x),可知当x>0时0求导，f'(x)=1/f(-x)*2(分母是f（-x）的平方) >0,所以函数y在R上单调递增.供参考答案2:f(1+0)=f(1)*f(0),f(1)>,1,所以f(0)=1;任意取x0,有f(-x)>0,则f(0)=f(x-x)=f(x)*f(-x),所以f(x)=f(0)/f(-x)=1/f(-x)>0；所以对于任意的X∈R,f(x)>0取任意a,b,不妨令a1,则f(b)-f(a)=f(b-a+a)-f(a)=f(b-a)f(a)-f(a)=f(a)[f(b-a)-1]>0，所以f(x)在R上单调递增

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