(1+4r^2)^(1/2)怎么积分

(1+4r^2)^(1/2)怎么积分

∫ √(1+4r²) dr
令2r=tanu，则√(1+4r²) =√(1+tan²u)=secu，dr=(1/2)sec²udu
=1/2∫ secu*sec²u du
=1/2∫ sec³u du
下面计算
∫ sec³u du
=∫ secu d(tanu)
分部积分
=secutanu-∫ tanu*secu*tanudu
=secutanu-∫ secu*tan²udu
=secutanu-∫ secu*(sec²u-1)du
=secutanu-∫ sec³udu+∫ secudu
=secutanu-∫ sec³udu+ln|secu+tanu|
将-∫ sec³udu移到左边与左边合并后，除去系数，得：
∫ sec³udu=(1/2)secutanu+(1/2)ln|secu+tanu|+C1
因此原式=1/2∫ sec³u du
=(1/4)secutanu+(1/4)ln|secu+tanu|+C
=(1/2)r√(1+4r²)+(1/4)ln|√(1+4r²)+2r|+C

换元法。