如图,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD⊥平面ABC,且CE=CA=2BD=2a,M为EA的

如图,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD⊥平面ABC,且CE=CA=2BD=2a,M为EA的

如图,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD⊥平面ABC,且CE=CA=2BD=2a,M为EA的中点（1）求证DM⊥平面ECA(2)求点C到平面ADE的距离(图1)答案网 www.Zqnf.com 答案网 www.Zqnf.com (1)如图.过D作DF⊥EC交EC于F因EC⊥平面ABC,BD⊥平面ABC则EC//BD,且EC⊥BC,即BCFD为矩形于是DF=BC=2a,在RT⊿DFE中易知DE=√5a又BD⊥平面ABC,则BD⊥AB,在RT⊿DFE中易知DA=√5a即有DE=DA,而M为AE中点,则DM⊥AE（三线合一） 过M点作MG⊥AC交AC于G,连接BG显然MG//EC且MG=1/2EC（中位线）,进而知BGMD为矩形所以DM//BG而G为AC中点,⊿ABC为正三角形,则BG⊥AC所以DM⊥AC 因AE交AC于平面ECA所以DM⊥平面ECA (2)延长ED交CB延长线于H,连接AH显然平面ADE与平面AHE共面由中位线性质易知AH//BG且AH=2BG而BG⊥AC,则AH⊥AC,即⊿AHC为RT⊿易知S⊿AHC=2√3a^2 显然D为EH中点则S⊿AHE=2S⊿ADE易知S⊿ADE=√6a^2即有S⊿AHE=2√6a^2 令点C到平面ADE的距离为h,则根据E-AHC等体积有1/3*EC*S⊿AHC=1/3*h*S⊿AHE所以h=√2a

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