一道一元二次方程题目

已知a、b、c是△ABC的三边，求证：方程bx²+2（a-c）x-(a+b-c)=0有两个不相等的实数根

因为a、b、c是△ABC的三边，所以满足两边之和大于第三边，且a，b，c均大于0，根据判别式△=b^2_4ac=[2(a-c）]^2+4b（a+b-c），可知（a-c）^2>0,a+b-c>0（两边之和大于第三边），可得△>0，所以不等式有两个不等的实根

解：由题可知b>0,则

△=[2(a-c)]^2-4b[-(a+b-c)]=4(a-c)^2+4b(a+b-c)

因为a、b、c是△ABC的三边，所以a+b-c>0,

又因为（a-c)^2>=0，所以△>0,所以方程bx²+2（a-c）x-(a+b-c)=0有两个不相等的实数根

由题可知：判别式=4（a-c）²+4（a+b-c)

因为4（a-c)²≥0，且a、b、c为三角形三边，∴a+b-c＞0

∴判别式＞0.∴原方程有两个不相等的实数根

4(a-c)^2+4b(a+b-c)>0

B^2-4AC=4(a-c)^2+4b(a+b-c) 因为4(a-c)^2大于等于0 b大于0 a＋b－c大于0 所以4(a-c)^2+4b(a+b-c）一定大于0 所以有两个不等的实数根