试写出所有3个连续正整数立方和的最大公约数，并证明．
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解决时间 2021-04-13 04:36
- 提问者网友：练爱
- 2021-04-12 19:32
试写出所有3个连续正整数立方和的最大公约数，并证明．
最佳答案
- 五星知识达人网友：刀戟声无边
- 2021-04-12 20:34
解：设三个连续的正整数的立方和为f（n）=（n-1）3+n3+（n+1）3
=3n3+6n
=3n3-3n+9n
=3n（n-1）（n+1）+9n
又∵当n≥2时，（n-1）n（n+1）是三个连续的整数的积，
所以必是3的倍数，所以3n（n-1）（n+1）能被9整除．
∴f（n）能被9整除
∴三个连续的正整数的立方和的最大公约数是9．解析分析：可设中间的正整数为n，表示出3个连续正整数立方和，进而解答．点评：解决本题的关键是利用完全平方公式，以及单项式乘多项式的法则，得到3个连续正整数立方和．难点在于把得到的立方和进行整理，整理成都含有某个数的形式．
=3n3+6n
=3n3-3n+9n
=3n（n-1）（n+1）+9n
又∵当n≥2时，（n-1）n（n+1）是三个连续的整数的积，
所以必是3的倍数，所以3n（n-1）（n+1）能被9整除．
∴f（n）能被9整除
∴三个连续的正整数的立方和的最大公约数是9．解析分析：可设中间的正整数为n，表示出3个连续正整数立方和，进而解答．点评：解决本题的关键是利用完全平方公式，以及单项式乘多项式的法则，得到3个连续正整数立方和．难点在于把得到的立方和进行整理，整理成都含有某个数的形式．
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- 1楼网友：独钓一江月
- 2021-04-12 21:22
我明天再问问老师，叫他解释下这个问题
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