样条插值求解湖水分层问题

湖水在夏天会出现分层现象，接近湖面温度较高，越往下温度变低。这种上热下冷的现象影响了水的对流和混合过程，使得下层水域缺氧，导致水生鱼类的死亡。如果把水温看成深度的函数T(x)，有某个湖的观测数据如下：

T (°C)	22.8	22.8	22.8	20.6	13.9	11.7	11.1	11.1
x (m)	0	2.3	4.9	9.1	13.7	18.3	22.9	27.2

环境工程师希望：

1） 用样条插值求出 T(x).

2） 求在什么深度处达到最大（即）

所涉及的知识——样条插值、数值微分。

注意并以可视化窗口实现，回答者留下代码最好添张图片或以邮件发给我也行，谢谢了

原来的找不到了，给你用matlab多项式拟合的吧

1) 问题的提出

    湖水在夏天会出现分层现象，其特点为接近湖面的水温度较高，越往下温度变低。这种上热下冷的现象影响了水的对流和混合过程，使得下层水域缺氧，导致水生鱼类的死亡。下面是某个湖的观测数据

深度（m）	0	2.3	4.9	9.1	13.7	18.3	22.9	27.2
温度(°C)	22.8	22.8	22.8	20.6	13.9	11.7	11.1	11.1

请问

1．  湖水在10m处的温度是多少？

2．  湖水在什么深度温度变化最大？

2）问题的分析与假设

本问题只给出了有限的实验数据点，可以想到用插值和拟合的方法来解决题目的要求。假设湖水深度是温度的连续函数，引入符号如下：

h: 湖水深度,单位为m

T: 湖水温度,单位为°C,它是湖水深度的函数：T=T(h)

这里多项式拟合的方法来求出湖水温度函数T(h)。然后利用求出的拟合函数就可以解决本问题了。

3）模型的建立

将所给数据作图，横轴代表湖水深度，纵轴代表湖水温度，用Mathematica 数学软件画出散点图，操作的命令为：

In[1]:= d={{0,22.8},{2.3,22.8},{4.9,22.8},{9.1,20.6},{13.7,13.9},

{18.3,11.7},{22.9,11.1},{27.2,11.1}}

In[2]:= q=ListPlot[d,PlotStyle->PointSize[0.04]]

得出如下散点图

Out[2]=-Graphics-

观察散点图的特点，并通过实验选取不同的基函数类进行实验发现用4次多项式拟合比较好，相应的命令为：

In[3]:= q1=Fit[d,{1,h,h^2,h^3,h^4, h^5},h]

Out[3]=22.711+0.0280756 h+0.0865552 h ² -0.0235702 h ³ +0.00132018 h ³ -0.0000218133 h ⁵

In[4]:= q2=Plot[q1,{h,0,27.2}]

 

Out[4]= -Graphics-

In[5]:= Show[q,q2]

Out[5]= -Graphics-

因此有

T(h) » q1=22.711+0.0280756 h+0.0865552 h ² -0.0235702 h ³ +0.00132018 h ³ -0.0000218133 h ⁵

为求出湖水在10m处的温度，键入命令：

In[6]:= q1/.h->10

Out[6]= 19.0975

于是得出湖水在10m处的温度约为19.0975 °C。为求湖水在什么深度温度变化最大，要求出函数T(h)的导函数T¢(h)的绝对值最大值点。为此对所求拟合函数q1关于h的导数并找出最大值点，键入如下命令：

In[7]:= q2=D[q1,h] 

Out[7]= 0.0280756+0.17311h-0.0707107h ² + 0.00528073 h ³ - 0.000109067 h ⁴

In[8]:= Plot[q2,{x,0,27.2}]

输出图形为

Out[8]=
-Graphics-

从导函数图形上观察到其在10附近可以取得绝对值最大值，键入命令：

In[9]:= FindMinimum[q2,{x,10}] 

Out[9]= {-1.21357, {h -> 11.9312}}

得出 h=11.9312 是导函数的绝对值最大值点，于是可以知道湖水在深度为11.9312m 时温度变化最大。