数列复式公式

一堂数列求和课的教学设计与反思

变式教学是一种常用的教学方式。所谓变式是指相对于某种范式的变化形式，就是不断变更问题的情境或改变思维的角度，在保持事物的本质特征不变的情况之下，使事物的非本质属性不断迁移的变化方式。变式既是一种重要的思想方法，又是一种行之有效的教学方式。通过变式教学在课堂上展示知识发生、发展、形成的完整的认知过程，有利于培养学生研究、探索问题的能力，是“三基”教学、思维训练和能力培养的重要途径。下面是一节“数列求和”的教学设计与反思。
　一、提问复习：
等差数列的前n项和公式：
Sn = ， Sn=
等比数列的前n项和公式：
Sn= Sn=
设问：（1）条件d=0和q=1时，前n项和怎样计算？
（2）在推导上述公式时，采用了什么样的数学方法？
二、例题讲解：
例1（1）求和：
（新教材P131，例3）
（2）求和：
请同学们观察（1）是否是等差数列或等比数列？

设问：既然不是等差数列，也不是等比数列，那么就不能直接用等差，等比数列的求和公式，请同学们仔细观察一下此数列有何特征？
结论：上面各个括号内的式子均由两项组成，其中各括号内的前一项与后一项分别组成等比数列，分别求出这两个等比数列的和，就能得到所求式子的和。
解：（1）当x≠0, x≠1, y≠1时
原式=
=
（以上化简过程，实际上是繁分式的化简应强调结果的完整）
再设问：题中附加条件去掉，应该如何考虑？

下面研究（2），由上题启发，对于一个数列的一项可分成若干项，使其重新组合成等差或等比，那么本小题又是怎样来解呢？

提问：可否通过对通项进行变形呢？从而转化为等差或等比数列？
解：因为 令k=1，2，3，……n
则： 1= ,

学生练习：求数列：9，99，999，9999，……的前n项和。

说明：通过讲解和练习，引导学生自己归纳解法特点，养成学生解题后反思的良好习惯
小结：这类数列的求和法叫分解求和法，基本方法是根据数列的通项公式，将原数列分解为两个或两个以上的基本数列，然后再分别求和，
例2 求和：

分析：将各项分母通分，显然是行不通的，启发学生能否通过通项的特点，将每一项拆成两项的差，使它们之间能互相抵消很多项。
解：因为 令k=1，2，3，… n
则原式=
=
= =
变式：求和：
（根据数列的结构特征启发学生推广）
变式提升：：已知数列[an]的前n项和为Sn=n2+2n，求和：

（启发学生先求通项公式，再采用上述类似的求和方法解决！）
解： 当n≥2时, an=Sn-Sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]
=n2+2n-(n2-2n+1+2n-2)
=2n+1
a1=S1=12+2•1=3 满足上式.
∴[an]的通项公式为an= =2n+1
原式=
=
=
= =
小结：这类数列求和的方法叫裂项相消求和法，基本方法是把数列各项拆成两项的差，使求和时中间各项相互抵消。
例题引伸：
例3：求数列：1， ， ， 的前n项和。
（启发学生：例1、例2我们都是对通项进行分解而得到解决。那么例3是否也可用同样的方法呢？例3中的通项是什么呢？）

说明：例题引伸是教学中常做的一件事，它可以使学生的认识得到“升华”，
发展学生的思维，并起到触类旁通，举一反三的效果
三、小结归纳：
非等差（比）的特殊数列求和法。
1、 设法转化为等差数列或等比数列，这一思考方法往往通过通项分解法来完成。
2、 不能转化为等差（比）的特殊数列，往往通过裂项相消法求和。
练习与思考
题组一
（1）求和：
（2）求和：
（3）求和：
题组二
（1）求数列：1，1+2，1+2+3，…（1+2+3+…+n）…的前n项的和。
（2）求数列：1，1+2，1+2+22，…,(1+2+22+…+2n-1)…的前n项的和。
（3）求数列：1，1+a, 1+a+a2, …(1++a+a2+…+an-1)…的前n项的和.
五、案例说明
1、从直观上看案例，明显从两个方面设计变式题。其一，横向变化，其二是纵向变化。
横向变化是：从公式→例1，例2，从各个侧面来看求和，让学生开拓了视野，展开丰富的联想：分组求和可分两组，是否还有分三组来解的题？裂项相消法求和有分母裂项求和，是否还有分母有理化进行求和等。
纵向变化：从例1→第一个设问 条件削弱，问题复杂，难度提升。
从例2→变式→变式提升→例3，从具体到抽象，从特殊到一般螺旋式的上升。
2、分析：横向变化，可看出思维变异的多样性。这种思维变异的多样性在今后的学习过程中将要面临的。如何理解这种数学的合理性呢？学生的学习的本质是继承、借鉴、发展、创新，而问题变式教学恰是在有实例的支持下，继承了思维变异的常用技巧，借鉴此技巧、寻求更多的变异，如分组成三个或更多个的式子求和，使学的思维得到充分的发展，从而取得创新的目的，这就是教学中所要取得的效果。从纵向变化，可看出思维变异的深入性。对于从例1→第一个设问，从例2→变式→变式提升→例3，问题的层层深入，使问题的一般规律掀起盖头，让学生体验了思维向纵深发展的规律。
六、问题变式教学的几点思考
1、问题变式教学在中国具有深厚的文化积淀，中国有一个传统：看一个人是否聪明，就看你是否能“举一反三”、“触类旁通”。 有一首诗“横看成岭侧成峰，远近高低各不同；不识庐山真面目，只怨身在此山中”就对人的思维方式做了哲理性的思考。
2、问题变式教学是以教师主导，学生主主体的教学活动。设计问题变式是为了学生体验思维变异的物质基础，没有实例的培养学生思维变异就不可想象的。课堂问题变式是熟练技能与促进理解的必要步骤，建立在变式基础上的“重复”可能导致理解，在理解的基础上才有可能发展到创新。
3、问题变式教学的实质是题组教学，每组题的选择必须是相似的，而有合理的变异，所谓的合理既是指形式上的，又指内容上的。相似是满足学生“最近发展区”的需要，变异是为了学生认识事物的本质规律，既从表面上看体验变异，实质是产生“深刻”的理解。
4、问题变式要把握其“度”。学生的思维变异是无限度的，然而教学时间、学习精力有限度的，我们不能穷尽所有的变式。所以，数学教学就是教会学生通过有限变异这样一个“过程”，从而学会面对未来的本领。
5、问题变式教学要有意识地将数学研究的某些思想方法渗透到教学过程中，课堂教学不能单纯传授知识，应在传授知识的同时注重能力的培养、思想方法的灌输。在这堂课的分类讨论思想，化归思想指引下，使问题变式的规律浮出水面。没有思想方法，就不可能体验变异的本质。