设 ， ．证明：当且仅当 时，存在数列 满足以下条件：（ⅰ） ， ；（ⅱ） 存在；（ⅲ） ，

设 ， ．证明：当且仅当 时，存在数列 满足以下条件：（ⅰ） ， ；（ⅱ） 存在；（ⅲ） ，

[证] 必要性：假设存在 满足（ⅰ），（ⅱ），（iii）．注意到（ⅲ）中式子可化为 ， ， 其中 ． 将上式从第1项加到第 项，并注意到 得 ．               由（ⅱ）可设 ，将上式取极限得 ， 因此 ．                                                           充分性：假设 ．定义多项式函数如下： ， ， 则 在[0,1]上是递增函数，且 ， ． 因此方程 在[0,1]内有唯一的根 ，且 ，即 ．    下取数列 为 ， ，则明显地 满足题设条件（ⅰ），且  ． 因 ，故 ，因此 ，即 的极限存在，满足（ⅱ）．                                                               最后验证 满足（ⅲ），因 ，即 ，从而 ． 综上，已证得存在数列 满足（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）．

解析见答案