几何平均数是怎么来的?谢谢,我是学生

最好有推导

几何平均数
geometric mean
n个正实数乘积的n次算术根。给定n个正实数 a1，a2，…，an，其几何平均数为(a1*a2*……*an)^(1/n)。特别是,两个正数a，b的几何平均数c＝(a*b)^(1/2)是a与b的比例中项。任意n个正数a1，a2 ，…，an的几何平均数不大于这n个数的算术平均数，即(a1*a2*……*an)^(1/n)≤（a1＋a2＋…＋an）/n 。这个不等式在研究其他不等式或极值等问题时常起特殊作用。

用数学归纳法证 n个非负数a1，a2，…，an的几何平均数是 (a1a2…an)1/n 算术平均数是 (a1+a2+…an)/n 证明： (a1a2…an)1/n<=(a1+a2+…an)/n 证明 当n=1的时候，(1)式不证自明．如果a1，a2，…，an里有一个等于0，(1)式也不证自明． 现在假设 0＜a1≤a2≤…≤an． 如果a1=an，那末所有的aj(j=1，2，…，n)都相等，(1)式也就不证自明．所以我们进一步假设a1＜an，并且假设 (a1a2…an)1/n<=(a1+a2+…an)/n 成立 (a1+a2+…an+1)/(n+1)=n/n*((a1+a2+…an)/(n+1) =(a1+a2+…an)/n-(an+1-(a1+a2+…an)/n)/n+1 把等式两边都乘方n(n＞1)次，并且由 (a+b)n＞an+nan-1b，(a＞0，b＞0) （证明） 由二项式定理可知 (a+b)^n=a^n+c(n,1)a^(n-1)b+c(n,2)a^(n-2)b^2+...+c(n,n-1)ab^(n-1)+b^n. 由c(a,b)=a!/（b!(a-b)!），把a=n,b=1代入，得 c(n,1)a^(n-1)b=an+nan-1b 所以 (a+b)n＞an+nan-1b，(a＞0，b＞0) 可知 （(a1+a2+…an+1)/n+1）n+1＞（(a1+a2+…an)/n）n+1+（n+1）* （ (a1+a2+…an)/n ）n (an+1-(a1+a2+…an)/n)/n+1= an+1 （(a1+a2+…an)/n）n＞=a1a2…an*an+1 定理得证． 这个要用到牛顿二项式展开（我不会证明，只会用。） 这个看起来有些复杂，但你变成分式就清楚多了，虽然我不会打出分式。。。 希望采纳，纯手打，这是我的论文课题，哈哈

如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab（当且仅当a＝b时取“＝”号）。 定理 如果a，b是正数，那么 （当且仅当a＝b时取“＝”号）。 (a+b)/2为a，b的算术平均数， 根号（ab)为a，b的几何平均数。