怎样用EXCEL公式表示求一元二次方程的求根公式

怎样用EXCEL公式表示求一元二次方程的求根公式

a X^2 + bX + c =0
那么请把a输入到A1中，b输入到B1中，c输入到C1
最后D1输入，=(-B1+SQRT(B1*B1-4*A1*C1))/2*A1
D2输入=(-B1-SQRT(B1*B1-4*A1*C1))/2*A1

（一）、拆分变换 形如an+1=can +d （其中c,d为常数，且c 0, c 1）的递推式，可将其拆分后转化成 =c的等比数列{bn}来解。 例1． 已知数列{an}满足a1=2, an+1=3an+2求an 分析：由于an+1与an是线性关系，由式子an+1=can +d可联想到直线方程的斜截式y=cx+d ,它应当可以化为点斜式，而c 1,则直线y=cx+d与直线y=x必有一交点，设为（t, t） 解：an+1=3an+2可设为an+1－t=3(an－t) 可得an+1=3an－2t, t=－1 得到 =3即{an+1}是以a1+1=3为首项，q=3为公比的等比数列 an+1=3·3n-1=3n 故an=3n－1 （二）、运用待定系数法或换元法进行变换 形如an+1=can +d(n) （其中c,d为常数，且c 0, c 1,d(n)为n的函数）的递推式，可用待定系数法或换元法转化成等比数列。 1）若d(n)为n的一次函数，可采用待定系数法 例2．已知a1=2, an+1=4an+3n+1求an 分析：与上述情形作比较，发现常数d变成了一次函数d(n)，可考虑用一个辅助数列{bn}，使{bn}成为等比数列。 解：（用待定系数法）设bn=an－(bn+c)，则 an=bn+(bn+c) (其中b，c为待定常数) 由an+1=4an+3n+1可得 bn+1+b(n+1)+c=4(bn+bn+c)+3n+1 即bn+1= 4bn+（3b+c）n+(3c－b+1) 令3b+c=0 ，3c－b+1=0可得 b=－1， c=－ 这样，bn+1= 4bn 即数列{bn}是公比为4，首项为b1=a1－(b+c)= 的等比数列， ∴bn= ·4n-1 故an= ·4n-1＋[（－1）n－ ]= (22n+1－3n－2) 特别地，形如an+1=can +d(n)的情形中，当c=1时变为an+1=an +d(n)，即 an+1－an =d(n)，对于这类问题一般采用“累差法”解决；相应地， =q(n),则采用“累积法” 例3．在数列{an}中，a1=－3, an+1=an+2n求an 分析：an+1=an+2n即an+1－an=2n比较等差数列，我们称之为变差数列，一般可采用“累差法”。 解：由an+1=an+2n即an+1－an=2n，可得 an－an-1=2（n －1），an-1－an-2=2（n －2）… a2－a1=2 将上述各式相加，得 （an－an-1）+（ an-1－an-2）+…+ （a2－a1）=n(n－1) 即：an－a1= n(n－1) an = n2－n－3 （当n=1时也成立） 2）若d(n)形如pam（p为非零常数，m n*），可采用换元法 例4．在数列{an}中，a1=1， an+1=3an+2n求an 解：由an+1=3an+2n 可得 2· =3· +1 令bn= 则 bn+1= bn+ ，类似于拆分变换，上式两边同加上1，得 bn+1+1= （bn+1） {bn+1}是以b1+1= +1= 为首项，公比为 的等比数列 bn+1=（ b1+1）·（ ）n-1=( )n bn= ( )n －1 an=2n·bn=3n－2n （三）、倒数变换 形如an+1·an=can+1+dan （其中c、d为不等于零的常数）的递推式，可令 bn+1= ，bn= 则可转化为等差数列或拆分变换的情形 例5．在数列{an}中，若a1=2， an+1= ，求an 分析：将an+1= 去分母得 an+1·an=－3an+1+an 形如an+1·an=can+1+dan ，故可采用“倒数变换” 解：由an+1= 可得 = +1 设bn= ，则上式可变为：bn+1=3bn+1 ，即为拆分变换情形 令bn+1+t=3(bn+t) 即bn+1=3bn+2t ，t= 故{bn+ }是首项为 + =1，公比为3的等比数列， bn+ = 3n-1 bn=3n-1－ an= (当n=1时也成立) （四）、对数变换 对形如an+1=panm(p为非零常数，m n*且m>1), 可利用对数的运算法则，将积、商、幂的形式转化成和、差、倍的形式，从而构成新的等差或等比数列 例6．已知数列{an}满足a1=2， an+1=an2，求an 分析：由于出现幂的形式an2，故可考虑取对数使之转化为积的形式 解： a1=2， an+1=an2 >0 对an+1=an2的两边取以10为底的对数，得 lg an+1=2lgan =2 即数列{lgan}是一个首项为lg2，公比为2的等比数列 lgan= （lg2）·2n-1 故an= (五)特征根法 对形如an+2=αan+1+βan (其中α、β为非零常数)的线性齐次递推式，若已知a1=c1, a2=c2, 可先求出其特征方程x2－αx－β =0的特征根x1、x2 若方程x2－αx－β =0有两个不同的特征根x1、x2，则可设 an=λ1x1n+λ2x2n ，由a1、a2求出λ1、λ2， 即可求得an 若方程x2－αx－β =0有两个相同的特征根x，则可设an=（λ1+nλ2）xn ，类似地，也可求得an 例7．已知数列{an}中，a1=0，a2=2, a3=6，且an+3=2an+2+an+1－2an，求an 分析：由于形如an+2=αan+1+βan ，可先求出其特征方程的特征根。 解：由特征方程x3=2x2 +x－2解得：x1=2, x2=1, x3=－1 设an=λ12n +λ2+λ3(－1)n 由 解得 an=2n－2 特别地，当 =1时，可得an+2= an+1+ an 若a1=1，a2=1,便是著名的斐波那契数列。 （六）、构造法 例8．已知数列{an}中，a1=1，a2=1,且an+2=an+1+an，求an 分析：对于斐波那契数列，用特征根法显然可以求解，但这里介绍一种构造法，即构造一个新的数列{an+1－tan}求解 解：设新数列的第n项为an+1－tan，则第n+1项为an+2－tan+1 设 an+2－tan+1=（1－t）（an+1－tan） 则 an+2=an+1－（1－t）tan 令 －（1－t）t =1 得 t2－t－1=0， 解得：t1= , t2= . 所以 an+2－t1an+1=（1－t1）（an+1－t1an） ① an+2－t2an+1=（1－t2）（an+1－t2an） ② 由①式得 an+1－t1an=（a2－t1a1）（1－t1）n-1 由②式得 an+1－t2an=（a2－t2a1）（1－t2）n-1 两式相减，可得 （t2－t1）an=（a2－t1a1）（1－t1）n-1－（a2－t2a1）（1－t2）n-1 即可得 － an=（ ）n－( )n 故 an= [（ ）n－( )n ]. (七)迭代变换 形如an+1=can +d(n)或 =q(n) （其中c,d为常数，且c 0, d(n)、q(n)分别为n的函数）的递推式，也可以考虑用迭代变换 例9（2002全国高考卷第22题） 设数列{an}满足 an+1=an2－nan+1,n=1,2,3…, (i)当a1=2时，求a2,a3,a4,并由此猜想an的一个通项公式； （ii）当a1≥3时，证明对所有的n≥1,有 （i）an≥n+2； (ii) + +…+ ≤ 分析：本题第（ii）小题较难，对（ii）（i）可用数学归纳法，但对(ii)学生首先想到放缩法、构造法或者数学归纳法。这里介绍一种迭代技巧。 解：(ii)由an+1=an（an－n）+1及an≥n+2可知 ak=ak-1(ak-1-k+1)+1 ≥ak-1(k-1+2-k+1)+1=2ak-1+1, … 可得：ak≥2k-1a1+2k-2+…+2+1=2k-1(a1+1)-1 故 ≤ · ,k≥2 + +…+ ≤ + ≤ ≤ =