高一数学题（关于函数的）在线等～要有详细过程

高一数学题（关于函数的）在线等～要有详细过程
f(x)是二次函数,且f(0)=0, f(x+1)=f(x)+x+1
求f(x)
注意了,要有详细过程啊!

令f(x)=ax²+bx+c
f(0)=0 → c=0
f(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)=ax²+(2a+b)x+(a+b)
f(x+1)=f(x)+x+1 → ax²+(2a+b)x+(a+b) = ax²+(b+1)x+1
比较系数得
2a+b=b+1
a+b=1
故a=b=1/2
f(x)=(x²+x)/2
stjuliusaxel的思路很赞,但从任意的实数x未必能通过逐次减1的过程到达0,因此该方法求出的实际上仅仅是定义在自然数集上的f(n),而不是f(x).